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Exercícios sobre trigonometria em um triângulo qualquer

Com estes exercícios sobre trigonometria em um triângulo qualquer, você pode avaliar seus conhecimentos com questões comentadas no nível do Enem e de vestibulares.

  • Questão 1

    Um triângulo ABC possui os ângulos A = 30° e C = 120°. Além disso, o lado AB desse triângulo mede 100 cm. Qual é a medida do lado AC? (Considere √3 = 1,7).

     

    a) 56,6 cm

    b) 66,6 cm

    c) 76,6 cm

    d) 86,6 cm

    e) 96,6 cm

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  • Questão 2

    O triângulo ABC, na imagem abaixo, possui o lado AB = 50 cm e o lado CB = 30 cm. Sabendo que o ângulo C = 60°, qual é o seno do ângulo A? (considere √3 = 1,7 e sen31° = 0,51).

     

    a) 30°

    b) 31°

    c) 32°

    d) 33°

    e) 34°

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  • Questão 3

    Qual o comprimento do lado AC do triângulo a seguir, sabendo que o ângulo C mede 60°, o lado oposto a ele mede 7 metros e o outro lado mede 5 metros.

    a) 1 metro

    b) 2 metros

    c) 3 metros

    d) 5 metros

    c) 8 metros

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  • Questão 4

    Calcule o cosseno do ângulo C no triângulo abaixo com base em suas medidas expostas na figura.

    a) 1

    b) – 1

    c) 2

    d) – 2

    e) 3

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Respostas

  • Resposta Questão 1

    Observe que conhecemos a medida de dois ângulos e de um lado desse triângulo. Como queremos saber a medida de um segundo lado, podemos usar a lei dos senos. O lado que mede 100 cm é oposto ao ângulo de 120°. Já o lado AC é oposto ao ângulo B, que não possui medida. Usando a soma dos ângulos internos de um triângulo, temos:

    A + B + C = 180°

    30° + 120° + C = 180°

    150° + C = 180°

    C = 180° – 150°

    C = 30°

    Seja AC = x, pela lei dos senos, teremos:

         x    =   100   
      sen30°  sen120°

    Sabendo que sen120° = sen(180° – 120°) = sen60°, teremos:

        x    100  
      sen30°  sen60° 

    x·sen60° = 100·sen30°

    3 = 100·1
        2           2

    x·√3 = 100

    x = 100
          √3

    Racionalizando:

    x = 1003
          √3√3

    x = 1003
         3

    x = 100·1,7
         3

    x = 170
          3

    x = 56,6 cm

    Gabarito: Alternativa A

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  • Resposta Questão 2

    Seja  = x, o seno do ângulo  pode ser calculado usando a lei dos senos:

      30   =    50  
      senx    sen60°

    50·senx = 30·sen60°

    50·senx = 30·3
                        2

    50·senx = 15·√3

    senx = 15·√3
               50

    senx = 3
              10

    senx = 1,7
              10

    senx = 5,1
              10

    senx = 0,51

    Como sen31° = 0,51, então:

    x = 31°

    Gabarito: Alternativa B

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  • Resposta Questão 3

    Para resolver esse problema, basta usar a lei dos cossenos:

    72 = 52 + x2 – 2·5·x·cos60°

    49 = 25 + x2 – 10x·1/2

    49 – 25 = x2 – 5x

    24 = x2 – 5x

    x2 – 5x – 24 = 0

    Usando o método de completar quadrados, observe que metade de b = – 2,5 e que 2,52 = 6,25. Assim:

    x2 – 5x – 24 + 6,25 = 0 + 6,25

    x2 – 5x + 6,25 = 6,25 + 24

    √(x – 2,5)2 = √30,25

    x – 2,5 = ± 5,5

    x = ± 5,5 + 2,5

    x’ = 5,5 + 2,5 = 8

    x’’ = – 5,5 + 2,5 = – 3

    Como o resultado negativo não pode representar uma medida de comprimento, então a medida do lado AC é igual a 8 metros.

    Gabarito: Alternativa E

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  • Resposta Questão 4

    Para resolver esse problema, basta usar a lei dos cossenos:

    102 = 52 + 52 – 2·5·5·cosx

    100 = 25 + 25 – 50·cosx

    100 – 25 – 25 = – 50·cosx

    50 = – 50·cosx

     50 = cosx
    – 50             
    cosx = – 1

    Gabarito: Alternativa B

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