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Exercícios sobre triângulos isósceles

Estes exercícios abordam as propriedades referentes a triângulos que possuem 2 ou 3 lados iguais, os triângulos isósceles.

Questão 1

Considere o triângulo ABC, onde os ângulos a e b são iguais. Mostre que esse triângulo é isósceles.

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Questão 2

Mostre que a altura de um triângulo equilátero é também mediana e bissetriz:

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Questão 3

Em um triângulo isósceles, ABC foi desenhada com altura relativa à base AB medindo 12 cm. Sabendo que a medida da base do triângulo é 10 cm, determine os lados CB e CA desse triângulo.

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Questão 4

Um triângulo ABC possui lados CB = 10 cm e AB = 10 cm. Além disso, foi desenhado um segmento de reta partindo do vértice C até a base AB dividindo o ângulo interno do vértice C em dois ângulos iguais de 30 graus. Calcule o valor dos ângulos a e b, internos ao triângulo e localizados nos vértices A e B respectivamente.

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Respostas

Resposta Questão 1

Sabendo que os ângulos a e b são iguais, podemos considerá-los como ângulos da base, sendo assim, a base desse triângulo é o lado AB. Para mostrar que ABC é isósceles, devemos mostrar que os lados AC e BC são iguais.

Para tanto, basta construir a altura CD relativa à base BC.

Essa altura parte do vértice C e encontra a base AB, formando com ela ângulos de 90 graus. Essa altura divide o triângulo inicial em outros dois triângulos, CBD e ACD.

Agora, basta observar que o lado CD é comum aos dois triângulos, os ângulos “a” e “b” são iguais, assim como os ângulos de 90 graus provenientes da construção da altura. Isso configura o caso LAAo de congruência de triângulos, dessa forma, os lados correspondentes AC e BC são também congruentes. Portanto, o triângulo ABC é isósceles.

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Resposta Questão 2

Triângulos equiláteros são aqueles que possuem 3 lados iguais. Uma consequência disso é que os três ângulos do triângulo equilátero também são iguais.

Primeiramente, construa a mediana do triângulo equilátero, que o divide nos triângulos ACD e BCD.

Uma vez feito isso, o lado AB do triângulo equilátero deve ser dividido em duas partes iguais: AD e DB

Observe que:

i- Os lados CB e AC são iguais, pois o triângulo é equilátero

ii- O lado CD é comum aos dois triângulos ACD e BCD

iii- Os lados AD e DB são congruentes por serem resultado da construção da mediana do triângulo equilátero.

Essas informações configuram o caso LLL de congruência de triângulos. Portanto, os triângulos ACD e BCD são congruentes.

Conclusões provenientes da congruência entre os triângulos ACD e BCD:

a) Os ângulos “a” e “b” são iguais, portanto CD é bissetriz;

b) Os segmentos AD e BD são iguais, o que implica que CD também é mediana.

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Resposta Questão 3

Como se trata de um triângulo isósceles, podemos afirmar:

CA = CB, a = b e altura, mediana e bissetriz são o mesmo segmento.

Pode-se concluir, então, que os segmentos AD e DB são congruentes, já que CD é mediana. Logo, DB = 5 cm.

Utilizando o teorema de Pitágoras, teremos:

5² + 12² = x²

25 + 144 = x²

169 = x²

x = √169

x = 13 cm.

Lembrando que x = CB e que CB é hipotenusa, pois CD é altura e assim descreve um ângulo de 90 graus.

CB portanto é 13 cm, que é a mesma medida de CA, pois o triângulo é isósceles.

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Resposta Questão 4

Note que os lados CB e AB desse triângulo são iguais, portanto ele é isósceles. Sabendo que os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais, a = b. Note também que o segmento CD é bissetriz desse triângulo, portanto é também altura. Dessa forma, o ângulo que o segmento CD forma com a base AB é de 90 graus. Ora, a soma dos ângulos internos de um triângulo é de 180 graus. Então, podemos descobrir o valor do ângulo a com a seguinte soma:

a + 30 + 90 = 180

a = 180 – 90 – 30

a = 60

Como a = b, então b também é 60 graus.

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