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Exercícios sobre transformações trigonométricas : fórmulas de multiplicação

Com estes exercícios, é possível testar seus conhecimentos sobre as fórmulas de multiplicação das transformações trigonométricas.

Questão 1

(Fuvest – SP) O valor de (sen22°30’ + cos22°30’)2 é:

a) 3/2

b) (2+√3)/2

c) (2 + √2)/2

d) 1

e) 2

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Questão 2

(Unifor – CE) A expressão [sen(x/2) + cos(x/2)]2 é equivalente a:

a) 1

b) 0

c) cos2(x/2)

d) 1 + senx

e) 1 + cosx

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Questão 3

Sabendo que cosx = 4/5, qual é o valor de sen2x?

a) 24/25

b) 24/50

c) 24/2

d) 4/5

e) 3/5

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Questão 4

Qual é o resultado do produto senπ/8·cosπ/8?

a) ½

b) √2/2

c) 2√2

d) ¼

e) √2/4

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Respostas

Resposta Questão 1

Expandindo a potência (sen22°30’ + cos22°30’)2, temos:

sen222°30’ + 2sen22°30’cos22°30’ + cos222°30’

Observe que sen222°30’ + cos222°30’ = 1, portanto:

1 + 2sen22°30’cos22°30’

Note também que sen(2·22°30’) = 2sen22°30’cos22°30’, logo:

1 + 2sen22°30’cos22°30’ =

1 + sen(2·22°30’) =

1 + sen45° =

1 + √2 =
    2

2 + √2
2

Alternativa C

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Resposta Questão 2

[sen(x/2) + cos(x/2)]2 =

sen2(x/2) + 2sen(x/2)cos(x/2) + cos2(x/2) =

Como sen2(x/2) + cos2(x/2) = 1, temos:

sen2(x/2) + 2sen(x/2)cos(x/2) + cos2(x/2) =

1 + 2sen(x/2)cos(x/2) =

Como 2sen(x/2)cos(x/2) = sen[2(x/2)], temos:

1 + 2sen(x/2)cos(x/2) =

1 + sen[2(x/2)] =

1 + senx

Alternativa D

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Resposta Questão 3

Para resolver esse problema, basta usar uma das fórmulas de transformação trigonométrica, no caso, a fórmula da função de arco duplo relativa ao exercício. Entretanto, é preciso saber primeiro o valor de senx. Para tanto:

cosx = 4/5

sen2x + cos2x = 1

sen2x + (4/5)2 = 1

sen2x + 16/25 = 1

sen2x = 1 – 16/25

sen2x = 9/25

senx = 3/5

Usando a fórmula:

sen2x = 2senxcosx

sen2x = 2·3·4
                 5 5

sen2x = 24
              25

 

Alternativa A

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Resposta Questão 4

Para resolver esse problema, multiplicaremos esse produto por 2/2 para obter:

2·senπ/8·cosπ/8
2
1(2senπ/8·cosπ/8)
2
1(sen2π/8)
2

1(senπ/4)
2

1·2
2   2
2
4

 

Alternativa E

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