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Exercícios sobre teorema fundamental da semelhança

Estes exercícios sobre teorema fundamental da semelhança testarão seus conhecimentos sobre o Teorema de Tales aplicado a um triângulo qualquer.

Questão 1

Sabendo que DE é paralelo a AC, determine o valor de x.

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Questão 2

Determine o valor de x e de y na figura abaixo sabendo que o segmento DE é paralelo à base do triângulo.

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Questão 3

(UNIMONTES MG/2015) Na figura abaixo, AD = 1, AB = a , AE = b e os segmentos DE e BC são paralelos. Com base nessas informações, é CORRETO afirmar que AC vale:

a) a
    b

b) b
    a

c) a + b

d) ab

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Questão 4

(UEA AM/2014) Potencialmente, os portos da região Norte podem ser os canais de escoamento para toda a produção de grãos que ocorre acima do paralelo 16 Sul, onde estão situados gigantes do agronegócio. Investimentos em logística e a construção de novos terminais portuários privados irão aumentar consideravelmente o número de toneladas de grãos embarcados anualmente.

Suponha que dois navios tenham partido ao mesmo tempo de um mesmo porto A, em direções perpendiculares e a velocidades constantes. Sabe-se que a velocidade do navio B é de 18 km/h e que, com 30 minutos de viagem, a distância que o separa do navio C é de 15 km, conforme mostra a figura:

Teorema fundamental da semelhança no movimento perpendicular entre navios

Desse modo, pode-se afirmar que, com uma hora de viagem, a distância, em km, entre os dois navios e a velocidade desenvolvida pelo navio C, em km/h, serão, respectivamente,

a) 30 e 25.

b) 25 e 22.

c) 30 e 24.

d) 25 e 20.

e) 25 e 24.

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Respostas

Resposta Questão 1

Utilizando o teorema fundamental da semelhança, teremos:

2 + 2 = 2 + x
2          2

Realizando a multiplicação cruzada, teremos:

2·4 = 2·(2 + x)

Calculando o lado esquerdo e utilizando a propriedade distributiva da multiplicação (chuveirinho) no lado direito da equação, teremos:

8 = 4 + 2x

Reorganizando os termos dessa equação e multiplicando-a por (-1), obteremos:

2x = 8 – 4

2x = 4

x = 4
      2

x = 2

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Resposta Questão 2

Utilizando o teorema de Tales, podemos escrever:

2  x  
2    2,24

Realizando a multiplicação cruzada, obteremos:

2,24·2 = 2·x

Pela lei do corte, teremos:

x = 2,24

Utilizando o teorema fundamental da semelhança, teremos:

   2  
2 + 2    y 

Após a multiplicação cruzada e realização dos cálculos resultantes, obteremos:

2y = 4

y = 4
      2

y = 2

Logo, os valores de x e y são 2,24 e 2, respectivamente.

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Resposta Questão 3

Utilizando o teorema fundamental da semelhança, teremos:

AD = AE
AB    AC

Substituindo os valores dos segmentos, obteremos:

1 =   b  
a    AC 

Utilizando multiplicação cruzada, o resultado será:

AC = ab

Letra D.

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Resposta Questão 4

A velocidade do navio B é de 18 km/h e, em meia hora, ele se deslocou a metade de 18 km.

Portanto, na primeira meia hora, o navio B estava 9 km distante do porto A. Dessa maneira, y = 9.

Com uma hora de viagem, a distância do navio B até o porto é de 18 km, já que sua velocidade é 18 km/h.

Sejam B' e C' os pontos onde os navios B e C, respectivamente, encontravam-se na primeira meia

hora de viagem. Utilizando o teorema fundamental da semelhança, podemos escrever:

AB' = B'C'
AB     BC

Substituindo os valores dos segmentos:

 9 = 15
18   BC

A multiplicação cruzada garante o seguinte resultado:

9BC = 18·15

BC = 270
        9

BC = 30

BC é a distância entre os navios B e C. Como os navios movem-se em direções perpendiculares, a velocidade do Navio C pode ser calculada pelo teorema de Pitágoras. Note que a velocidade média de um objeto em movimento é dada pela distância percorrida pelo objeto (ou que seria percorrida) em uma hora. Portanto, pelo teorema de Pitágoras:

BC2 = AB2 + AC2

302 = 182 + AC2

900 = 324 + AC2

900 – 324 = AC2

576 = AC2

AC = √576

AC = 24

Portanto, o Navio C moveu-se 24 km em uma hora, logo, sua velocidade média é de 24 km/h.

Letra C.

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