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Exercícios sobre subconjuntos dos números naturais

Esta lista de exercícios sobre subconjuntos dos números naturais objetiva testar seus conhecimentos acerca desse assunto por meio de questões no nível dos vestibulares.

Questão 1

Conjuntos numéricos são coleções de números que possuem alguma característica única. Eles foram formados durante a história do desenvolvimento humano, e cada conjunto nasceu para suprir as necessidades de uma época. A respeito do conjunto dos números naturais, assinale a alternativa correta:

a) É um conjunto formado por todos os números inteiros, exceto pelo zero.

b) É um conjunto formado pela união entre os subconjuntos dos números pares e primos.

c) É um conjunto formado por todos os números não positivos.

d) É um conjunto formado pela intersecção entre os subconjuntos dos números pares e ímpares.

e) É um conjunto formado pela união entre os subconjuntos dos números pares e ímpares.

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Questão 2

A respeito do subconjunto dos números pares, assinale a alternativa correta.

a) A soma entre três números pares quaisquer sempre terá um número ímpar como resultado.

b) A soma entre dois números ímpares sempre terá um número par como resultado.

c) O produto entre dois números pares não pode resultar em um número ímpar.

d) A divisão entre dois números pares sempre resulta em um número par.

e) Não existe uma lei de formação para o conjunto dos números pares.

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Questão 3

A partir de cada número natural é possível construir um subconjunto formado pelos seus múltiplos. A respeito dos subconjuntos formados por múltiplos de um número natural, assinale a alternativa verdadeira:

a) O conjunto dos números pares não é um subconjunto de múltiplos dos números naturais.

b) O conjunto dos números ímpares é um subconjunto formado por múltiplos de números naturais, pois números ímpares sempre podem ser escritos na forma 2n + 1.

c) O conjunto dos números naturais é um subconjunto de múltiplos do conjunto dos números naturais.

d) Todo conjunto de múltiplos dos números naturais é finito.

e) O conjunto dos múltiplos de zero possui apenas um subconjunto formado por S = {0}.

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Questão 4

A respeito do conjunto dos números primos, assinale a alternativa correta:

a) É um conjunto formado apenas por números ímpares.

b) É um conjunto finito, já que não contempla todos os números naturais.

c) É um conjunto infinito porque, dado um número primo, sempre existirá um número primo maior que ele, embora o conjunto formado pelos números primos conhecidos seja finito.

d) É um subconjunto formado por números compostos, já que o número 2 pertence a ele.

e) O conjunto dos números primos não é subconjunto dos números naturais.

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Respostas

Resposta Questão 1

a) Incorreta!
O conjunto dos números naturais não contém todos os números inteiros. Por exemplo, - 1 é um número inteiro e não é natural.

b) Incorreta!
A união entre o conjunto dos números pares e o conjunto dos números ímpares não contém todos os números naturais. Por exemplo, não estão presentes nessa união os números 9, 15 e 21, que são ímpares e não são primos.

c) Incorreta!
O conjunto dos números não positivos é formado somente por números que não são naturais.

d) Incorreta!
A intersecção entre os conjuntos dos números pares e ímpares é o conjunto vazio, pois nenhum número é par e ímpar ao mesmo tempo. Estaria correto se, em vez de intersecção, houvesse a palavra união.

e) Correta!

Gabarito: Letra E.

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Resposta Questão 2

b) Correta!

Um número ímpar sempre pode ser escrito na forma 2n + 1, em que n é um número natural. Suponha que 2k + 1 e 2 j + 1 sejam dois números ímpares:

(2k + 1)(2j + 1) = 4kj + 2k + 2j + 1

Observe que a parcela 1 aparece e não pode ser diluída em qualquer outra soma. Por isso, esse número é ímpar. Para mostrar que ele pode ser escrito na forma 2n + 1, coloque dois em evidência da seguinte maneira:

4kj + 2k + 2j + 1 = 2(2kj + k + j) + 1

Fazendo (2kj + k + j) = n, teremos:

2(2kj + k + j) + 1 = 2n + 1

Gabarito: Letra B.

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Resposta Questão 3

a) Incorreta!
O conjunto dos números pares é um subconjunto dos números naturais formados pelos múltiplos de dois.

b) Incorreta!
Para que um conjunto numérico seja subconjunto de múltiplos dos números naturais, é preciso que ele esteja na forma kn, em que k é uma constante (que pertence aos números naturais) e n pode ser substituído por qualquer número natural a fim de encontrar um dos múltiplos de k. A forma geral dos números ímpares é 2n + 1 (ou 2n – 1, dependendo do autor), ou seja, não são formados por múltiplos de um único número natural.

c) Verdadeira!
Todo conjunto é um subconjunto de si mesmo. O conjunto dos números naturais é o subconjunto formado pelos múltiplos de 1. Portanto, a alternativa é verdadeira.

d) Incorreta!
Todo conjunto de múltiplos de números naturais, a menos que exista alguma restrição, é infinito.

e) Incorreta!
O conjunto formado pelos múltiplos de zero (S) possui pelo menos dois subconjuntos: S = {} e S = {0}

Gabarito: Letra C.

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Resposta Questão 4

a) Incorreta!
O número 2 é primo e não é ímpar. Todos os outros números primos são.

b) Incorreta!
Não é um conjunto infinito, embora não contemple mesmo todos os números naturais.

c) Correta!

d) Incorreta!
O número 2 é primo, por isso não é composto. Ou um número é primo ou é composto.

e) Incorreta!
O conjunto dos números primos é mesmo subconjunto dos números naturais.

Gabarito: Letra C.

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