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Exercícios sobre soma dos termos de uma PA

Estes exercícios testarão suas habilidades para resolução de situações-problema envolvendo soma dos termos de uma Progressão Aritmética.

Questão 1

Dado o conjunto dos números naturais, não nulos, qual é a soma dos seus 200 primeiros números pares?

a) 40200

b) 80400

c) 60300

d) 50500

e) 70700

Questão 2

Com o intuito de construir um jogo novo, foram colocados sobre um tabuleiro de xadrez grãos de arroz da seguinte maneira: na primeira casa, foram colocados 5 grãos; na segunda, 10; na terceira, 15; e assim por diante. Quantos grãos de arroz foram usados nesse tabuleiro?

a) 5050

b) 6060

c) 20400

d) 10400

e) 20800

Questão 3

(PUC/RJ – 2008) A soma de todos os números naturais ímpares de 3 algarismos é:

a) 220000

b) 247500

c) 277500

d) 450000

e) 495000

Questão 4

(PUC/RJ – 2009) Temos uma progressão aritmética de 20 termos onde o primeiro termo é igual a 5. A soma de todos os termos dessa progressão aritmética é 480. O décimo termo é igual a:

a) 20

b) 21

c) 22

d) 23

e) 24

Respostas

Resposta Questão 1

Para calcular essa soma, é necessário saber que os números pares são 2, 4, 6 … e que eles formam uma PA de razão 2. Além disso, o primeiro termo é 2 e o último deve ser descoberto por meio da fórmula do termo geral da PA. Observe:

an = a1 + (n – 1)r

a200 = 2 + (200 – 1)2

a200 = 2 + (199)2

a200 = 2 + 398

a200 = 400

Tendo o termo de número 200 em mãos, substitua todos os valores na fórmula da soma dos termos da PA finita:

Sn = (a1 + an)n
         2

S200 = (2 + 400)200
           2

S200 = (402)200
           2

S200 = (402)200
           2

S200 = 80400
           2

S200 = 40200

Gabarito: letra A.

Resposta Questão 2

Seguindo esse padrão, teremos uma PA de razão 5, com primeiro termo também igual a 5. O número de termos dessa PA é 64, pois é exatamente o número de casas do tabuleiro. Falta apenas o número de grãos da última casa para calcular a soma. Esse número pode ser obtido da seguinte maneira:

an = a1 + (n – 1)r

a64 = 5 + (64 – 1)5

a64 = 5 + (63)5

a64 = 5 + 315

a64 = 320

Agora basta substituir esses valores na fórmula da soma dos termos de uma PA.

Sn = (a1 + an)n
       2

Sn = (5 + 320)64
         2

Sn = (325)64
        2

Sn = 20800
        2

Sn = 10400

Gabarito: letra D.

Resposta Questão 3

A fórmula usada para calcular a soma dos termos de uma PA finita é a seguinte:

Sn = (a1 + an)n
        2

O número de termos dessa PA é desconhecido e, para encontrá-lo, teremos que usar a fórmula do termo geral da PA:

an = a1 + (n – 1)r

O primeiro termo ímpar de 3 algarismos é 101, o último é 999 e a razão da PA é 2, que é o que precisamos somar a um número ímpar qualquer para encontrar o próximo número ímpar. Substituindo esses valores, teremos:

999 = 101 + (n – 1)2

999 – 101 = 2n – 2

898 + 2 = 2n

900 = 2n

n = 900
      2

n = 450

Sabendo que a PA composta pelos números ímpares de 3 algarismos possui 450 termos, podemos calcular a soma desses termos com a fórmula destacada inicialmente.

Sn = (a1 + an)n
        2

Sn = (101 + 999)450
         2

Sn = (1100)450
        2

Sn = 495000
        2

Sn = 247500

Gabarito: letra B.

Resposta Questão 4

A fórmula para calcular a soma dos termos de uma PA finita é a seguinte:

Sn = (a1 + an)n
       2

Substituindo os valores dados pelo exercício, que são primeiro termo (a1 = 5), soma dos termos (Sn = 480) e o número de termos (n = 20), teremos:

480 = (5 + a20)20
        2

Observe que o vigésimo termo é igual ao primeiro somado com 19 vezes a razão da PA. Assim, podemos escrever:

480 = (5 + a1 + 19r)20
          2

2·480 = (5 + 5 + 19r)20

2·480 = (5 + 5 + 19r)20

960 = (10 + 19r)
20                  

48 = 10 + 19r

48 – 10 = 19r

38 = 19r

r = 38
     19

r = 2

Agora, para encontrar o décimo termo, basta usar a fórmula do termo geral da PA:

an = a1 + (n – 1)r

a10 = 5 + (10 – 1)2

a10 = 5 + (9)2

a10 = 5 + 18

a10 = 23

Gabarito: letra D.

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