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Exercícios sobre sistema de equação

Estes exercícios sobre sistema de equação do 1° grau podem ser resolvidos através do método da adição ou da substituição sem qualquer prejuízo nos resultados.

Questão 1

João gosta muito de animais de estimação e de charadas. Certo dia um amigo perguntou-lhe quantos cachorros e quantos gatos ele tinha. Prontamente João respondeu com o seguinte enigma: “A soma do dobro do número de cachorros e do triplo do número de gatos é igual a 17. E a diferença entre o número de cachorros e de gatos é apenas 1”. Será que você consegue desvendar esse enigma e descobrir quantos cachorros e quantos gatos João possui?

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Questão 2

Em sua rua, André observou que havia 20 veículos estacionados, dentre motos e carros. Ao abaixar-se, ele conseguiu visualizar 54 rodas. Qual é a quantidade de motos e de carros estacionados na rua de André?

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Questão 3

(Fuvest) Um supermercado adquiriu detergentes nos aromas limão e coco. A compra foi entregue, embalada em 10 caixas, com 24 frascos em cada caixa. Sabendo-se que cada caixa continha 2 frascos de detergentes a mais no aroma limão do que no aroma coco, o número de frascos entregues, no aroma limão, foi:

a) 110

b) 120

c) 130

d) 140

e) 150

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Questão 4

(Vunesp) Em um campeonato de futsal, se um time vence, marca 3 pontos; se empata, marca 1 ponto e se perde não marca nenhum ponto. Admita que, nesse campeonato, o time A tenha participado de 16 jogos e perdido apenas dois jogos. Se o time A, nesses jogos, obteve 24 pontos, então a diferença entre o número de jogos que o time A venceu e o número de jogos que empatou, nessa ordem, é

a) 8.

b) 4.

c) 0.

d) – 4.

e) – 8.

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Respostas

Resposta Questão 1

De início, vamos interpretar algebricamente o enigma de João. Para isso, identificaremos o número de gatos como g e o número de cachorros como c. Se “a soma do dobro do número de cachorros e do triplo do número de gatos é igual a 17”, chegamos a:

2 · c + 3 · g = 17

E se “a diferença entre o número de cachorros e de gatos é apenas 1”, podemos concluir que:

c – g = 1

Com as equações encontradas, podemos montar o seguinte sistema:

Para resolver esse sistema pelo método da adição, multiplicaremos todos os termos da segunda equação por 3 e somaremos as equações:


5 · c + 0 · g = 20
5 · c = 20
c = 20
      5
c = 4

Substituindo c = 4 em c – g = 1, teremos:

c – g = 1
4 – g = 1
g = 1 – 4
(– 1) · (– g) = (– 3) · (– 1)
g = 3

Podemos concluir que João possui três gatos e quatro cachorros.

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Resposta Questão 2

Se identificarmos a quantidade de motos com a incógnita m e a quantidade de carros com a incógnita c, podemos afirmar que a equação m + c = 20 é válida.

Sabendo que cada moto possui 2 rodas e cada carro, 4, podemos montar ainda outra equação: 2 · m + 4 · c = 54. Organizando-as em um sistema de equações, teremos:

Para resolver esse sistema através do método da substituição, isolaremos m na primeira equação, substituindo-o na segunda:

m + c = 20
m = 20 – c

2 · m + 4 · c = 54
2 · (20 – c) + 4 · c = 54
40 – 2 · c + 4 · c = 54
2 · c + 4 · c = 54 – 40
2 · c = 14
c = 14
      2
c = 7

Substituindo c = 7 em m = 20 – c, teremos:

m = 20 – c
m = 20 – 7
m = 13

Portanto, há treze motos e sete carros estacionados na rua de André.

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Resposta Questão 3

De acordo com o enunciado, as caixas contêm detergentes no aroma limão e no aroma coco. Representaremos suas quantidades com as variáveis L e C, respectivamente. Nós sabemos que, somando as quantidades dos dois aromas em uma caixa, teremos um total de 24 detergentes, isto é, L + C = 24. Sabemos ainda que cada caixa contém dois detergentes de limão a mais do que de coco, logo, L = C + 2. Reorganizando essa equação, teremos: L – C = 2.

Com as equações identificadas, podemos montar um sistema que resolveremos pelo método da adição:


2 · L + 0 · C = 26
2 · L = 26
L = 26
      2
L = 13

Cada caixa continha 13 frascos de detergente aroma limão. Mas como foram estregues 10 caixas com essa mesma quantidade (13 · 10 = 130), o supermercado adquiriu 130 frascos de detergente aroma limão. A resposta correta é a letra c.

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Resposta Questão 4

De acordo com o enunciado, o time A participou de 16 jogos e perdeu em dois destes. Podemos afirmar, portanto, que, em 14 dos jogos, o time A pode ter vencido ou empatado. Representando pela letra v os jogos em que o time venceu e por e aqueles em que empatou, algebricamente temos v + e = 14 (o número de vitórias somado ao número de empates é igual a 14). Para determinar a pontuação de um time, multiplicamos as vitórias por 3 e os empates por 1 e somamos os resultados. No caso do time A, temos:

3 · v + 1 · e = 24
3 · v + e = 24

Podemos montar o seguinte sistema de equações:

Vamos resolver esse sistema pelo método da substituição. Para isso, isolaremos a incógnita e na primeira equação, ficando com: e = 14 – v. Substituindo esse valor de e na segunda equação, teremos:

3 · v + e = 24
3 · v + 14 – v = 24
3 · v – v = 24 – 14
2 · v = 10
v = 10
     2
v = 5

Substituindo o valor encontrado de v em e = 14 – v, teremos:

e = 14 – v
e = 14 – 5
e = 9

O time A teve nove empates e cinco vitórias, mas o exercício pediu a diferença entre o número de jogos em que A venceu e o número de jogos em que empatou. Essa diferença é 5 – 9 = – 4. A alternativa correta é a letra d.

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