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Exercícios sobre semelhança de triângulos

Estes exercícios testarão seus conhecimentos sobre semelhança de triângulos, isto é, a comparação entre lados proporcionais e ângulos congruentes dessas figuras geométricas.

Questão 1

Observe os triângulos da imagem a seguir e assinale a alternativa correta.

a) Os triângulos são semelhantes, pois possuem o mesmo formato. Essa é a única maneira de descobrir se duas figuras geométricas são semelhantes.

b) Os triângulos não são semelhantes, pois não existe caso de semelhança para quando se conhece apenas um lado e um ângulo de dois triângulos.

c) Os triângulos são semelhantes pelo caso ALA (Ângulo – Lado – Ângulo).

d) Os triângulos são congruentes pelo caso ALA.

e) Os triângulos são semelhantes pelo caso AA (Ângulo – Ângulo).

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Questão 2

(Unesp) A sombra de um prédio, em um terreno plano, em uma determinada hora do dia, mede 15 m. Nesse mesmo instante, próximo ao prédio, a sombra de um poste de altura 5 m mede 3 m. A altura do prédio, em metros, é:

a) 25

b) 29

c) 30

d) 45

e) 75

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Questão 3

Qual é a medida do segmento AB?

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

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Questão 4

(Unirio) Numa cidade do interior, à noite, surgiu um objeto voador não identificado, em forma de disco, que estacionou a 50 m do solo, aproximadamente. Um helicóptero do exército, situado a aproximadamente 30 m acima do objeto, iluminou-o com um holofote, conforme mostra a figura anterior. Sendo assim, pode-se afirmar que o raio do disco mede, em m, aproximadamente:

a) 3,0

b) 3,5

c) 4,0

d) 4,5

e) 5,0

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Respostas

Resposta Questão 1

a) Incorreta.
Não é possível afirmar que duas figuras geométricas são semelhantes apenas porque têm o mesmo formato.

b) Incorreta.
Na verdade, os triângulos são semelhantes.

c) Incorreta.
O caso ALA é de congruência, e não de semelhança.

d) Incorreta.
Os triângulos não são congruentes.

e) Correta.

Gabarito: Letra E.

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Resposta Questão 2

Observe que a sombra e o raio solar sempre determinam o mesmo ângulo. Também sabemos que a altura é uma medida de segmento de reta que faz um ângulo de 90°. Dessa maneira, temos dois ângulos correspondentes congruentes. Pelo caso AA, os triângulos formados pela sombra, altura e raio solar na imagem acima são semelhantes.

Assim sendo, basta usar a proporcionalidade entre as medidas de seus lados para encontrar a altura do prédio:

x = 15
5     3 

3x = 15·5

3x = 75

x = 75
      3

x = 25

Gabarito: Letra A.

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Resposta Questão 3

O caminho mais fácil para descobrir a medida do segmento AB é calcular o segmento DE por meio do teorema de Pitágoras e usar proporcionalidade para encontrar o segmento AB ou, então, usar proporcionalidade para encontrar a medida de BC e o teorema de Pitágoras para encontrar AB.

Para tanto, é preciso mostrar que os triângulos são semelhantes. Isso é verdade, pois possuem dois ângulos congruentes, o que configura o caso de semelhança AA. Assim sendo, calcularemos BC:

BC = 4
10     8

8BC = 10·4

8BC = 40

BC = 40
         8

BC = 5

Agora, usando o teorema de Pitágoras, teremos:

52 = AB2 + 42

25 = AB2 + 16

– AB2 = 16 – 25

– AB2 = – 9

AB2 = 9

AB = √9

AB = 3

Gabarito: Letra C.

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Resposta Questão 4

Observe, na imagem do exercício, que os triângulos formados são semelhantes. Isso acontece porque eles compartilham dois lados e o terceiro lado (a base) do triângulo menor é paralelo à base do triângulo maior. Isso significa que as medidas de seus lados, altura e perímetro são proporcionais.

Para calcular a base do triângulo pequeno, podemos usar regra de três da seguinte maneira: base do triângulo pequeno está para base do triângulo grande, assim como a altura do triângulo pequeno está para a altura do triângulo grande. Matematicamente, teremos a seguinte proporção:

  x  =    16    
30    30 + 50

Observe que a altura do triângulo grande é a distância entre o helicóptero e o chão, que, na imagem, está dividida em duas partes pela presença do disco voador. Utilizando a propriedade fundamental das proporções, teremos:

  x      16    
30     30 + 50

(30 + 50)x = 30·16

80x = 480

x = 480
      80

x = 6

Assim, o comprimento do disco voador é de 6 metros, isto é, seu diâmetro mede 6 metros. Como o raio é a metade do diâmetro, o raio desse disco voador é de 3 metros.

Gabarito: Letra A.

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