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Exercícios sobre Relações Trigonométricas Fundamentais

Estes exercícios sobre relações trigonométricas fundamentam-se no uso de seno e cosseno e das relações decorrentes destas.

Questão 1

(Vunesp) A expressão , com sen θ ≠ 1, é igual a:

a) sen θ

b) sen θ + 1

c) tg θ . cos θ

d) 1

e) sen θ
    sec θ

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Questão 2

(PUC – SP) Se cos 2x = 0,2, então tg² x é igual a:

a) 1/2

b) 2/3

c) 3/4

d) 4/3

e) 2

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Questão 3

Determine o valor de A = , sabendo que sen x = 4/5 e que x pertence ao 1° quadrante.

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Questão 4

Determine os valores de tg x, cotg x, sec x e cossec x, sabendo que cos x = 4/5 e que o ângulo x encontra-se no 1° quadrante.

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Respostas

Resposta Questão 1

Para resolver essa questão, precisamos nos lembrar da relação fundamental da trigonometria que garante que:

sen² θ + cos² θ = 1
cos² θ = 1 – sen² θ

A partir disso, vamos substituir o valor encontrado para cos² θ na expressão :

cos² θ = 1 – sen² θ
1 – sen θ  1 – sen θ   

Você deve concordar que podemos expressar 1 – sen² θ como 1² – sen θ. Essa pequena mudança ajuda a visualizar a presença do produto notável conhecido como “produto da soma pela diferença”. De acordo com esse produto notável, podemos afirmar que:

1² – sen θ = (1 – sen θ).(1 + sen θ)

Substituindo essa igualdade na expressão que estamos trabalhando, teremos:

cos² θ = 1 – sen² θ = (1 – sen θ).(1 + sen θ)
 1 – sen θ   1 – sen θ              1 – sen θ                

Dividindo o numerador e o denominador da expressão por (1 – sen θ), restará:

cos² θ = 1 + sen θ
1 – sen θ                   

Portanto, a alternativa correta é a letra b.

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Resposta Questão 2

Partindo da ideia do arco duplo, podemos reescrever cos 2x como cos² x – sen² x. Sendo assim, temos:

cos 2x = 0,2
cos² x – sen² x = 0,2
cos² x = 0,2 + sen² x

Mas pela relação fundamental da trigonometria, temos que sen² x + cos² x = 1. Substituindo o valor anteriormente encontrado para cos² x nessa equação, teremos:

sen² x + cos² x = 1
sen² x + (0,2 + sen² x) = 1
2.sen² x = 1 – 0,2
2.sen² x = 0,8
sen² x = 0,8
               2
sen² x = 0,4

No momento, não é interessante extrair a raiz de sen² x. Vamos agora substituir o valor encontrado na equação trigonométrica cos² x = 0,2 + sen² x:

cos² x = 0,2 + sen² x
cos² x = 0,2 + 0,4
cos² x = 0,6

Como já identificamos os valores de sen² x e de cos² x, vamos determinar o valor de tg² x:

tg² x = sen² x
            cos² x
tg² x = 0,4
            0,6
tg² x = 4
           6
tg² x = 2
           3

Portanto, a alternativa correta é a letra b

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Resposta Questão 3

Como já temos o valor de sen x, vamos utilizar a relação fundamental da trigonometria para determinar o valor de cos x:

sen² x + cos² x = 1
+ cos² x = 1
5²                     
cos² x = 1 – 16
                    25
cos² x = 9
              25
cos x = ± √9
                √25
cos x = 3
             5

Observe que, nesse caso, o resultado negativo da raiz quadrada não é adequado, pois, como o ângulo x encontra-se no 1° quadrante, o valor de seu cosseno é positivo. Vamos agora desenvolver a expressão A:

A = cos x + tg x
cotg x . sec x

A = 

A = 

A = cos² x + sen x . sen x
          cos x              1

A = (cos² x).(sen x) + sen² x
cos x

Substituindo os valores de cos x e sen x na equação, teremos:

A = (cos² x).(sen x) + sen² x
    cos x

A = 

A = 116 . 5
      125    3

A = 116
       75

Portanto, para sen x = 4/5, temos que A = 116/75.

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Resposta Questão 4

Apesar de não ter sido solicitado o valor de sen x, precisamos identificá-lo para que possamos determinar os demais valores pedidos. Através da relação fundamental da trigonometria, temos:

sen² x + cos² x = 1

sen² x + = 1
         5²

sen² x = 1 – 16
                    25

sen² x = 9
             25

sen x = 3
             5

Vamos agora determinar o valor de tg x:

tg x = sen x
          cos x

tg x = 

tg x = 3 . 5
           5   4

tg x = 3
          4

Como cotg x é a função inversa de tg x, basta fazer:

cotg x = 1
              tg x

cotg x = 4
               3

Vamos determinar o valor de sec x:

sec x = 1
            cos x

sec x = 

sec x = 1 . 5
                 4

sec x = 5
             4

Por fim, resta determinar o valor de cossec x:

cossec x = 1
                 sen x

cossec x = 

cossec x = 1 . 5
                        3

cossec x = 5
                   3

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