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Exercícios sobre regra prática para calcular MMC e MDC

Para resolver estes exercícios sobre regra prática para calcular MMC e MDC, é necessário dominar bem a fatoração.

Questão 1

Dois irmãos moram juntos e costumam fazer longas viagens em seus trabalhos. João é maquinista de trem e fica sempre 20 dias fora de casa a cada viagem, folgando no vigésimo primeiro dia. Antônio é piloto de avião e ausenta-se de sua casa por oito dias, tendo o nono dia para descansar. Se ambos os irmãos iniciaram uma viagem hoje, daqui a quantos dias eles poderão encontrar-se em casa?

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Questão 2

No primeiro dia de aula de uma escola, a professora de Matemática Ana reuniu todos os alunos do 6° ao 9° ano no pátio. Com a ajuda dos demais professores, Ana contabilizou que havia 532 meninas e 456 meninos. Ao propor uma dinâmica, a professora pediu aos alunos que se dividissem na maior quantidade de grupos possível. Os grupos deveriam ter a mesma quantidade de pessoas e a mesma quantidade de meninos e de meninas em ambos. Qual é o total de alunos em cada grupo?

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Questão 3

(UEL) Três ciclistas percorrem um circuito saindo todos ao mesmo tempo, do mesmo ponto, e com o mesmo sentido. O primeiro faz o percurso em 40 s, o segundo em 36 s e o terceiro em 30 s. Com base nessas informações, depois de quanto tempo os três ciclistas se reencontrarão novamente no ponto de partida, pela primeira vez, e quantas voltas terá dado o primeiro, o segundo e o terceiro ciclistas, respectivamente?

a) 5 minutos, 10 voltas, 11 voltas e 13 voltas.

b) 6 minutos, 9 voltas, 10 voltas e 12 voltas.

c) 7 minutos, 10 voltas, 11 voltas e 12 voltas.

d) 8 minutos, 8 voltas, 9 voltas e 10 voltas.

e) 9 minutos, 9 voltas, 11 voltas e 12 voltas.

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Questão 4

(UFPE) Uma escola deverá distribuir um total de 1260 bolas de gude amarelas e 9072 bolas de gude verdes entre alguns de seus alunos. Cada aluno contemplado receberá o mesmo número de bolas amarelas e o mesmo número de bolas verdes. Se a escola possui 300 alunos e o maior número possível de alunos da escola deverá ser contemplado, qual o total de bolas que cada aluno contemplado receberá?

a) 38

b) 39

c) 40

d) 41

e) 42

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Respostas

Resposta Questão 1

Pretendemos determinar o menor prazo para que os irmãos encontrem-se. Para isso, calcularemos o mínimo múltiplo comum (MMC) dos tempos de viagem de cada um deles:

Multiplicando os números que aparecem à direita na fatoração, encontraremos o MMC de 9 e 21:

MMC (9, 21) = 3 • 3 • 7
MMC (9, 21) = 63

Logo os irmãos encontrar-se-ão daqui a 63 dias.

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Resposta Questão 2

Devemos determinar a maior quantidade de grupos formada pelos alunos, de modo que todos apresentem a mesma quantidade de meninos e meninas. Façamos o cálculo do máximo divisor comum (MDC) entre o total de meninos e meninas:

Veja os números da fatoração que estão destacados. Esses são os valores que dividem o 456 e o 532. Multiplicando esses números, podemos determinar o MDC de 456 e 532:

MDC (456, 532) = 2 · 2 · 19
MDC (456, 532) = 76

Dividindo os alunos de acordo com o gênero:

Meninas
532 : 76 = 7

Meninos
456 : 76 = 6

Portanto, cada grupo é composto por sete meninas e seis meninos, totalizando 13 alunos por grupo.

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Resposta Questão 3

Queremos saber o menor tempo em que os ciclistas se encontrarão. Para isso, faremos o cálculo do MMC dos tempos de cada um deles:

Multiplicando todos os números que apareceram à direita na fatoração, teremos o seguinte produto:

MMC (30, 42, 40) = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5
MMC (30, 42, 40) = 360

Os ciclistas encontrar-se-ão depois de passados 360 s, o que corresponde a 6 min, uma vez que (60 s)· 6 = 360 s. Sabendo que o primeiro ciclista faz o percurso em 40 s, o segundo, em 36 s; e o terceiro, em 30 s, vejamos em que volta cada um deles estará:

1° ciclista:
(360 s) : (40 s / volta) = 9ª volta

2° ciclista:
(360 s) : (36 s / volta) = 10ª volta

3° ciclista:
(360 s) : (30 s / volta) = 12ª volta

Portanto, a alternativa correta é a letra b.

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Resposta Questão 4

Pelo enunciado do problema podemos ver que cada aluno receberá a mesma quantidade de bolas verdes e amarelas. Faremos então o cálculo do MDC entre as quantidades disponíveis de cada bola de gude:

Observe que estão destacados os números da fatoração que dividem tanto o 1260 quanto o 9072. Através do produto desses números, podemos determinar o MDC de 1260 e 9072:

MDC (1260, 9072) = 2 · 2 · 3 · 3 · 7
MDC (1260, 9072) = 252

Vamos agora dividir as quantidades de bolas de gude de cada cor por 252 para determinar quantas bolas de gude cada aluno ganhará:

Bolas Amarelas
1260 : 252 = 5

Bolas Verdes
9072 : 252 = 36

Portanto, cada aluno receberá cinco bolas amarelas e 36 bolas verdes, totalizando 41 bolas de gude. Logo, a alternativa correta é a letra d.

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