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Exercícios sobre razões trigonométricas

Para a resolução destes exercícios sobre razões trigonométricas, devem ser empregadas as fórmulas de seno, cosseno e hipotenusa.

Questão 1

Determine os valores de x, y, w e z em cada caso:

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Questão 2

Em um triângulo retângulo, determine as medidas dos ângulos agudos e da hipotenusa, sabendo que um dos catetos mede 3 cm e o outro mede √3 cm.

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Questão 3

(Cesgranrio) Uma rampa plana, de 36 m de comprimento, faz ângulo de 30° com o plano horizontal. Uma pessoa que sobe a rampa inteira eleva-se verticalmente de:

a) 6√3 m.

b) 12 m.

c) 13,6 m.

d) 9√3 m.

e) 18 m.

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Questão 4

(UFAM) Se um cateto e a hipotenusa de um triângulo retângulo medem 2a e 4a, respectivamente, então a tangente do ângulo oposto ao menor lado é:

a) 2√3

b) √3
     3

c) √3
     6

d) √20
     20

e) 3√3

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Respostas

Resposta Questão 1

a) Através do cosseno de 30°, temos:

cos 30° = cat. adjacente a 30°
                hipotenusa
3 = 16
2     x
3 • x = 16 • 2
x = 32
     √3

x = 32•√3
     √3•√3

x = 32•√3
     3

 

Portanto, a hipotenusa mede  32•√3 unidades.
                                               3

b) Através do seno de y:

sen y = cat. oposto a y
            hipotenusa
sen y = 13
            26
sen y = 1
            2

O seno de y é ½. Podemos então concluir que y = 30°.

c) Pelo seno de 60°:

sen 60° = cat. oposto a 60°
              hipotenusa
3 = w
  2   18
2 • w = 18√3
w = 18√3
      2
w = 9√3

Concluímos que w = 9√3 unidades.

d) Através do cosseno de 45°:

cos 45° = cat. adjacente a 45°
               hipotenusa
2 = 20
2     z
2 • z = 20 • 2
z = 40 . √2
      √2   √2
x = 40√2
      2
x = 20√2

Portanto, a hipotenusa mede 20√2 unidades.

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Resposta Questão 2

Como sabemos apenas as medidas dos catetos, vamos utilizar o Teorema de Pitágoras para determinar a medida da hipotenusa (h):

(hipotenusa)² = (cateto)² + (cateto)² 
h² = 3² + (√3)²
h² = 9 + 3
h = √12
h = 2√3 cm

Considere um ângulo α oposto ao lado de 3 cm. Calculando sua tangente, temos:

tg α = cat. oposto a α
         cat. adjacente a α
tg α = 3
         √3
tg α = 3
         √3
tg α = 3 . √3
        √3   √3
tg α = 3√3
          3
tg α = √3

Se tg α = √3, logo α = 60°. Sabendo que a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é 180° e que esse é um triângulo retângulo, podemos determinar a medida de outro ângulo agudo β:

β + α + 90° = 180°
β + 60° + 90° = 180°
β + 150° = 180°
β = 180° – 150°
β = 30°

Portanto, os ângulos agudos desse triângulo valem 30° e 60°.

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Resposta Questão 3

Podemos representar no triângulo ilustrado a seguir a situação descrita no problema. A hipotenusa representa a rampa percorrida pela pessoa citada:

Representação geométrica da questão 3
Representação geométrica da questão 3

Na figura, a altura que a pessoa foi elevada está representada pelo lado vermelho (cateto oposto ao ângulo de 30°). Vamos chamar esse lado do triângulo de x para determinar seu valor. Para tanto, utilizaremos a fórmula do seno:

sen 30° = cat. oposto
               hipotenusa
1 = x
2   36
2x = 36
x = 36
      2
x = 18 m

Portanto, ao subir a rampa, a pessoa eleva-se verticalmente 18 m. Logo, a alternativa correta é a letra e.

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Resposta Questão 4

Pelo enunciado do exercício, sabemos que a hipotenusa mede 4a e um dos catetos mede 2a, mas não sabemos de qual cateto se trata. Precisamos determinar a medida do segundo cateto. Chamando-o de c, pelo Teorema de Pitágoras, temos:

(hipotenusa)² = (cateto)² + (cateto)²
(4a)² = (2a)² + c²
16a² = 4a² + c²
c² = 16a² – 4a²
c² = 12a²
c = √12a²
c = 2a√3

Agora que conhecemos o terceiro lado da figura, podemos esboçar o triângulo com o qual estamos trabalhando:

Representação geométrica da questão 4
Representação geométrica da questão 4

Vamos chamar de α o ângulo oposto a 2a, que é o menor cateto. Agora podemos determinar a tangente de α:

tg α = cat. oposto a α
         cat. adjacente a α
tg α = 2a
         2a√3
tg α = 1
         √3
tg α = 1 . √3
        √3  √3
tg α = √3
          3

Portanto, a alternativa que indica a resposta correta é a letra b.

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