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Exercícios sobre Quadrado da Soma e Quadrado da Diferença

Utilizando conceitos de produtos notáveis e fatoração, é possível resolver exercícios sobre quadrado da soma e quadrado da diferença.

Questão 1

Desenvolva os seguintes produtos notáveis:

a) (x + y)2

b) (2a + b)2

c) (x – 5y)2

d) (3 – a3)2

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Questão 2

Sabe-se que x² + y² = 20 e xy = 3, qual é o valor de (x + y)²?

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Questão 3

Escreva as expressões a seguir de forma reduzida:

a) (3m + n)² + 2n²

b) (2a + 2b)² – a.(a – 2b)

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Questão 4

(Fuvest – SP - adaptado) Se , calcule .

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Questão 5

(IBMEC-04) A diferença entre o quadrado da soma e o quadrado da diferença de dois números reais é igual:

a) a diferença dos quadrados dos dois números.

b) a soma dos quadrados dos dois números.

c) a diferença dos dois números.

d) ao dobro do produto dos números.

e) ao quádruplo do produto dos números.

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Questão 6

(Fuvest) A soma dos quadrados de dois números positivos é 4 e a soma dos inversos de seus quadrados é 1. Determine:

a) o produto dos dois números

b) a soma dos dois números

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Respostas

Resposta Questão 1

Podemos resolver esses produtos notáveis através da seguinte ideia:

O primeiro termo elevado ao quadrado mais (ou menos) o dobro do primeiro termo multiplicado pelo segundo termo mais o segundo termo elevado ao quadrado.

a) (x + y)2 = x2 + 2.x.y + y2

b) (2a + b)2 = (2a)2 + 2.2a.b + b2 = 4a2 + 4ab + b2

c) (x – 5y)2 = x2 – 2.x.5y + (5y)2 = x2 – 10xy + 25y2

d) (3 – a3)2 = 32 – 2.3.a3 + (a3)2 = 9 – 6a3 + a6

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Resposta Questão 2

Utilizando o princípio do quadrado da soma, temos que:

(x + y)² = x² + 2.x.y + y²

Podemos reescrever essa igualdade da seguinte forma:

(x + y)² = x² + y² + 2.x.y

Sabemos que x² + y² = 20 e xy = 3, substituindo esses valores na igualdade acima, temos:

(x + y)² = 20 + 2.3
(x + y)² = 20 + 6
(x + y)² = 26

Portanto, (x + y)² = 26.

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Resposta Questão 3

a) (3m + n)² + 2n²

Desenvolvendo o produto notável, temos:

(3m + n)² + 2n²
(3m)² + 2.3m.n + n² + 2n²
9m² + 6mn + n² + 2n²
9m² + 6mn + 3n²

Portanto, (3m + n)² + 2n² = 9m² + 6mn + 3n²

b) (2a + 2b)² – a.(a – 2b)

Desenvolvendo o produto notável e aplicando a propriedade distributiva, temos:

(2a + 2b)² – a.(a – 2b)
(2a)² + 2.2a.2b + (2b)² – a² + 2ab
4a² + 8ab + 4b² – a² + 2ab
3a² + 10ab + 4b²

Portanto, (2a + 2b)² – a.(a – 2b) = 3a² + 10ab + 4b²

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Resposta Questão 4

A fim de fazer aparecer , nós vamos elevar todos os membros da equação  ao quadrado:

Aplicando a propriedade do quadrado da soma, temos:

b² = x² + 2.x. 1 +
                    x    x²
b² = x² + 2 + 1
                     x²
b² – 2 = x² + 1
                   x²

Portanto:

x² + 1 = b² – 2
x²     

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Resposta Questão 5

Para resolver o exercício, vamos considerar x e y como reais. O quadrado da soma de x e y é representado por (x + y)2 e o quadrado da diferença é representado por (x – y)2. A diferença entre eles pode ser feita da seguinte forma:

(x + y)2 (x – y)2

Desenvolvendo o quadrado da soma e da diferença através das propriedades de produtos notáveis, teremos:

x2 + 2xy + y2 – (x2 – 2xy + y2)
x2 + 2xy + y2 – x2 + 2xy – y2
2xy + 2xy
4xy

A alternativa correta é a (e), pois, desenvolvendo a diferença entre o quadrado da soma e o quadrado da diferença de dois números x e y, obtivemos 4xy, isto é, o quádruplo do produto dos números.

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Resposta Questão 6

a) o produto dos dois números

Se x e y são números positivos, a soma de seus quadrados é 4:

x² + y² = 4

A soma dos inversos de seus quadrados é 1:

1 + 1 = 1
x²   y²     

Tirando o mínimo múltiplo comum do primeiro membro da equação, teremos:

y² + x² = 1
x².y²      

Passando o x2.y2 para o segundo membro da equação, teremos:

y² + x² = x².y²

Que é o mesmo que escrevermos:

(x.y)² = y² + x²

Mas x² + y² = 4, então:

(x.y)² = 4

Extraindo a raiz quadrada de ambos os lados da equação, teremos:

(x.y)² = 4
x.y = 2

Portanto, o produto de x e y é 2.

b) a soma dos dois números

Chamemos de n a soma de x e y, isto é:

n = x + y

Se elevarmos ao quadrado ambos os lados da equação, teremos:

n² = (x + y)²

Aplicando a propriedade do quadrado da soma no segundo lado da igualdade, teremos:

n² = x² + 2xy + y²

Podemos organizar o segundo membro da equação convenientemente da seguinte forma:

n² = 2xy + (x² + y²)

Não conhecemos o valor de x e de y, mas sabemos que x.y = 2 e x2 + y2 = 4, portanto:

n² = 2.2 + (4)
n² = 4 + 4
n² = 8

Extraindo a raiz quadrada de ambos os lados da equação, teremos:

n² = √8
n = 2√2

A soma dos dois números é 2√2.

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