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Exercícios sobre Propriedades Operatórias dos Logaritmos

Estes exercícios sobre Propriedades Operatórias dos Logaritmos servem como base para a resolução de equações, inequações e funções logarítmicas.

Questão 1

(Cesgranrio – RJ) Se log √a = 1,236, então o valor de log ³√a é:

a) 0,236.

b) 0,824

c) 1,354

d) 1,854

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Questão 2

Sabendo que log 2 = x, log 3 = y e log 5 = z, calcule os seguintes logaritmos em função de x, y e z:

a) log 10

b) log 27

c) log 7,5

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Questão 3

Aplicando as propriedades operatórias do logaritmo, calcule logx a, sabendo que a = n.x².m-3.
                                                                                                                                   y4.√z

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Questão 4

(PUC-PR) O valor da expressão log2 0,5 + log3 √3 + log4 8 é:

a) 1

b) – 1

c) 0

d) 2

e) 0,5

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Respostas

Resposta Questão 1

Aplicando as propriedades operatórias dos logaritmos, temos que:

log √a = log a1/2 = 1 .log a
                     2

log √a = 1,236

1 .log a = 1,236
2                       

log a = 2,472

Se log a = 2,472, então podemos calcular log ³a:

log 3√a = log a1/3 = 1 .log a = 2,472 = 0,824
                 3                  3

A alternativa correta é a letra b.

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Resposta Questão 2

a) Aplicando a propriedade operatória do logaritmo do produto e sabendo que 2.5 = 10, temos:

log 10 = log (2.5) = log 2 + log 5 = x + z

Portanto, log 10 = x + z.

b) Para determinarmos log 27, vamos utilizar o logaritmo da potência, uma vez que 27 = 3³. Sendo assim, temos:

log 27 = log 3³ = 3.log 3 = 3.y

Então, log 27 = 3y.

c) Precisamos encontrar uma forma de representar o número 7,5 em função de 2, 3 e 5. Passando para a forma fracionária 75/10, podemos simplificá-lo por 5 e teremos a fração 15/2. Sabemos ainda que 15 é o produto entre 3 e 5. Podemos fazer então:

log 7,5 = log 15 = log 3 . log 5 = log 3 + log 5 – log 2 = y + z – x
2          log 2                                       

Portanto, log 7,5 = y + z – x.

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Resposta Questão 3

Aplicando todas as propriedades operatórias do logaritmo, temos:

logx a = logx n.x².m-3.
                y4.√z

logx a = (logx n + logx x² + logx m-3) – (logx y4 + logx √z)

logx a = logx n + logx x² + logx m-3 – logx y4 – logx z1/2

Aplicando agora a propriedade do logaritmo da potência aos logaritmos destacados, temos:

logx a = logx n + 2.logx x – 3.logx m – 4.logx y – 1 .logx z
                                                                2

Sabemos que logx x = 1, logo:

logx a = logx n + 2.1 – 3.logx m – 4.logx y – 1 .logx z
                                                         2

logx a = 2 + logx n – 3.logx m – 4.logx y – 1 .logx z
                                                      2 

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Resposta Questão 4

Vamos calcular individualmente cada um dos logaritmos:

1º) log2 0,5 = x
2x = 0,5
x = – 1

2º) log3 √3 = y
3y = √3
y = ½

3°) log4 8 = z
4z = 8
(2)²z = 2³
2z = 3
z = 3/2

Somando todos os valores encontrados, temos:

log2 0,5 + log3 √3 + log4 8
1 + 1/2 + 3/2
2 + 1 + 3
2
2
2
1

Portanto, a alternativa correta é a letra a.

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