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Exercícios sobre propriedades dos números pares e ímpares

Estes exercícios sobre as propriedades dos números pares e ímpares apresentarão algumas situações que aparecem com frequência em vestibulares.

Questão 1

A soma de cinco números ímpares consecutivos é igual a 135. A soma entre o maior e o menor número entre esses cinco é:

a) 11

b) 23

c) 31

d) 54

e) 135

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Questão 2

A soma de três números ímpares consecutivos é igual a:

a) Um número ímpar, pois a soma de números pares resulta em um número ímpar.

b) Um número ímpar, pois a soma entre três números ímpares resulta em um número ímpar.

c) Um número par, pois a soma entre quaisquer números sempre resulta em um número par.

d) Um número par, pois a soma entre um número par e um número ímpar é um número par.

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Questão 3

O produto entre 3 números ímpares consecutivos é sempre:

a) Um número par, pois o produto entre números ímpares é um número par.

b) Um número par, pois qualquer produto entre números resulta em um número par.

c) Um número ímpar, pois qualquer produto entre números resulta em um número ímpar.

d) Um número ímpar, pois apenas a multiplicação entre números consecutivos resulta em um número ímpar.

e) Um número ímpar, pois o produto entre números ímpares resulta em um número ímpar.

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Questão 4

Em uma soma de duas parcelas, a primeira é formada por um produto entre números pares e a segunda é formada por um produto entre dois números ímpares. O resultado dessa expressão numérica é:

a) Um número ímpar, pois o resultado dos produtos seria um número par e outro número ímpar e a soma entre eles seria um número ímpar.

b) Um número ímpar, pois qualquer soma envolvendo um misto de números pares e ímpares resulta em um número ímpar.

c) Um número par, pois os dois produtos têm números pares como resultado, e a soma entre números pares é um número par.

d) Um número par, pois qualquer produto envolvendo números pares e ímpares resulta em um número par.

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Respostas

Resposta Questão 1

Um número ímpar é representado pela expressão 2n + 1 (n é um número inteiro não negativo). Supondo que o primeiro número dessa sequência seja justamente 2n + 1, o próximo número ímpar será 2n + 1 + 2 = 2n + 3. O próximo será 2n + 5 e assim por diante. A soma dos cinco números ímpares dessa sequência pode ser representada pela equação a seguir:

2n + 1 + 2n + 3 + 2n + 5 + 2n + 7 + 2n + 9 = 135

Simplificando os termos, teremos:

10n + 25 = 135

Resolvendo a equação resultante, teremos:

10n = 135 – 25
10n = 110
n = 11

Encontramos o valor de n. Para encontrar o primeiro número ímpar, basta substituir seu valor em 2n + 1 e, para encontrar o último, basta substituir o valor de n em 2n + 9. Assim:

2n + 1 =
2·11 + 1 =
22 + 1 =
23

2n + 9 =
2·11 + 9 =
22 + 9 =
31

A soma entre 23 e 31 é:

23 + 31 = 54

Gabarito: Alternativa D.

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Resposta Questão 2

a) Falsa!
A soma entre números pares sempre resulta em um número par.

b) Verdadeira!
Observe a soma dos números ímpares 2n + 1, 2m + 1 e 2k + 1:

2n + 1 + 2m + 1 + 2k + 1 =
2(n + m + k) + 3 =
2[(n + m + k) + 3] + 1

Fazendo (n + m + k) + 3 = g somente para simplificar a escrita, teremos:

2[(n + m + k) + 3] + 1 = 2g + 1

O resultado é um número ímpar. Assim, a soma entre três números ímpares quaisquer sempre é um número ímpar.

c) Falsa!
Como mostrado no item anterior, nem sempre a soma entre números resulta em um número par.

d) Falsa!
A soma entre um número par e um número ímpar é um número ímpar.

e) Falsa!

Gabarito: Alternativa B.

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Resposta Questão 3

Seja 2n + 1 o primeiro número ímpar dessa sequência, os próximos números serão: 2n + 3 e 2n + 5. O produto entre eles pode ser calculado pela propriedade distributiva da seguinte maneira:

(2n + 1)(2n + 3)(2n + 5) =
(4n2 + 6n + 2n + 3)(2n+5) =
(4n2 + 8n + 3)(2n+5) =
8n3 + 20n2 + 16n2 + 40n + 6n + 15 =

8n3 + 36n2 + 46n + 15 =
2(4n3 + 18n2 + 23n) + 14 + 1
2(4n3 + 18n2 + 23n) + 2·7 + 1
2[(4n3 + 18n2 + 23n) + 7] + 1

Fazendo [(4n3 + 18n2 + 23n) + 7] = k, teremos:

2k + 1

O resultado é um número ímpar.

Gabarito: Alternativa E.

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Resposta Questão 4

Os números pares serão representados por 2n e 2m. Os números ímpares serão representados por 2k + 1 e 2p + 1. A expressão deve ser construída da seguinte maneira:

2n·2m + (2k + 1)(2p + 1)
2n·2m + 4kp + 2k + 2p + 1
2(2mn + 2kp + k + p) + 1

Trocando (2mn + 2kp + k + p) por g, teremos:

2g + 1

Logo, a situação acima resulta em um número ímpar.

Esse problema poderia ter sido resolvido sem cálculo algum, pensando apenas nas propriedades existentes entre números pares e ímpares. A primeira parcela teria como resultado um número par, pois o produto entre números pares tem outro número par como resultado. A segunda resultaria em um número ímpar, pois o produto entre números ímpares tem um número ímpar como resultado. A soma entre os resultados das duas parcelas teria como resultado um número ímpar, pois a soma entre um número ímpar e um número par é um número ímpar.

Gabarito: Alternativa A.

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