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Exercícios sobre Progressão Geométrica

O objetivo destes exercícios sobre progressão geométrica é estimular a aplicação da fórmula do termo geral da PG em diferentes situações.

Questão 1

Em uma PG crescente, temos a2 – a1 = 60, e o primeiro termo a1 é equivalente ao triplo da razão q. Determine os valores de a1 e de q.

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Questão 2

Em uma PG decrescente, são conhecidos dois termos: a5 = 135 e a8 = 5. Determine qual é o primeiro termo dessa PG.

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Questão 3

(UFMG) Uma criação de coelhos foi iniciada há exatamente um ano e, durante esse período, o número de coelhos duplicou a cada quatro meses. Hoje, parte dessa criação deverá ser vendida para se ficar com a quantidade inicial de coelhos. Para que isso ocorra, a porcentagem da população atual dessa criação de coelhos a ser vendida é

a) 75%

b) 80%

c) 83,33%

d) 87,5%

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Questão 4

(UFPE) Suponha que o preço de um automóvel se desvaloriza 10% ao ano nos seus 5 primeiros anos de uso. Se este automóvel novo custou R$ 10.000,00, qual será o seu valor em reais após os 5 anos de uso?

a) 5.550,00

b) 5.804,00

c) 6.204,30

d) 5.904,90

e) 5.745,20

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Respostas

Resposta Questão 1

Como se trata de uma PG, podemos afirmar que a2 = a1 · q. Vamos substituir a2 em a2 – a1 = 60:

a2 – a1 = 60
a1 · q – a1 = 60
a1 · (q – 1) = 60

Se o primeiro termo a1 é equivalente ao triplo da razão q, podemos afirmar que a1 = 3q. Agora substituiremos esse valor de a1 na equação anterior:

3q · (q – 1) = 60
3q² – 3q – 60 = 0

Podemos dividir toda a equação por três, o que resulta em:

q² – q – 20 = 0

Pela fórmula de Bhaskara, temos que:

Δ = b² – 4.a.c
Δ = 1² – 4.1.(– 20)
Δ = 1 + 80
Δ = 81

q = – b ± √Δ
      2.a

q = – (– 1) ± √81
      2.1

q = 1 ± 9
     2

q1 = 1 + 9 = 10 = 5
    2        2

q2 = 1 – 9 = – 8 = – 4
2        2

Como se trata de uma PG crescente, q2 = – 4 não convém, portanto q = 5. Sabendo que a1 = 3q, vamos determinar o valor de a1:

a1 = 3q
a1 = 3 · 5
a1 = 15

Dessa forma, a1 = 15 e q = 5.

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Resposta Questão 2

Vamos considerar que essa progressão geométrica está iniciando pelo termo a5. Apenas por um momento, vamos ignorar os quatro primeiros termos da PG, lembrando que a razão q permanece a mesma. Utilizando a fórmula do termo geral da PG, temos:

an = a1 · qn – 1
a8 = a5 · q 8 – 5
5 = 135 · q 3
q3 =     5   
       135
q3 =     1   
        27
q = 3√ 1
         3√27
q = 1
      3

Agora que já encontramos a razão, podemos determinar o 1° termo a1 da PG através do termo geral:

an = a1 · qn – 1
a5 = a1 · q 5 – 1
135 = a1 · (1/3)4
a1 = 135
         1/81
a1 = 135 · 81
        1     1
a1 = 10.935

Portanto, o primeiro termo dessa progressão é a1 = 10.935.

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Resposta Questão 3

Como nós não temos conhecimento da quantidade inicial de coelhos, podemos afirmar que esse valor é x. Sendo assim, passados quatro meses, a população de coelhos tornou-se 2x; passados oito meses, já havia 4x; após 12 meses, a polução de coelhos era de 8x. Isso pode ser representado como uma PG (x, 2x, 4x, 8x) de razão 2.

Conforme o enunciado, atualmente o criador de coelhos possui 8x animais. Se ele deseja voltar a ter apenas a quantidade inicial (x), ele deverá vender 7x. Podemos calcular a porcentagem da criação que ele venderá através do quociente entre 7x e 8x:

7x = 7 = 0,875 = 87,5%
8x    8                         

Portanto, a alternativa correta é a letra d.

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Resposta Questão 4

Se o automóvel desvaloriza-se 10% ao ano, podemos afirmar que a cada ano seu valor passa a ser apenas 90% do que era anteriormente. Para determinar esse valor a cada ano, basta multiplicar o valor anterior por 0,9 (que equivale a 90%). Dessa forma, há uma progressão geométrica com razão 0,9, por isso utilizaremos a fórmula do termo geral da PG para resolver a questão.

Para tanto, consideremos a1 = 10.000, q = 0,9 e n = 6 (observe que utilizamos 6 porque, no primeiro ano, não houve desvalorização e só após 5 anos o carro será vendido).

an = a1 · qn – 1
a6 = a1 · q 5
a6 = 10.000 · (0,9) 5
a6 = 10.000 · 0,59049
a6 = 5904,9

Portanto, a alternativa correta é a letra d.

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