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Exercícios sobre múltiplos e divisores

Estes exercícios sobre múltiplos e divisores podem ser uma ferramente útil para você fixar seus conhecimentos sobre o assunto!

Questão 1

(Enem) Durante a Segunda Guerra Mundial, para decifrarem as mensagens secretas, foi utilizada a técnica de decomposição em fatores primos. Um número N é dado pela expressão 2x. 5y.7z, na qual x, y e z são números inteiros não negativos. Sabe-se que N é múltiplo de 10 e não é múltiplo de 7. O número de divisores de N, diferentes de N, é:

a) x.y.z

b) (x+1).(y+1)

c) x.y.z -1

d) (x+1).(y+1).z

e) (x+1).(y+1).(z+1) -1

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Questão 2

Encontre os divisores positivos dos números abaixo:

a) 8

b) 32

c) 100

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Questão 3

Encontre os cinco primeiros múltiplos não negativos dos números abaixo:

a) 15

b) 30

c) 6

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Questão 4

(EsPCex) Se escolhermos, ao acaso, um elemento do conjunto dos divisores inteiros positivos do número 360, a probabilidade de esse elemento ser um número múltiplo de 12 é:

a) 1
    2

b) 3
    5

c) 1
    3

d) 2
    3

e) 3
    8

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Respostas

Resposta Questão 1

Dados da questão

  • N = 2x . 5y . 7z

  • N não é múltiplo de 7.

  • N é múltiplo de 10.

  • Precisamos descobrir a expressão referente ao número de divisores de N diferentes de N.

Solução

O número total de divisores positivos de N é dado pela fórmula: N = (x + 1) . (y + 1) . ( z + 1)
Acrescentamos +1 em cada incógnita para obtermos o sucessor, ou seja, o próximo termo da sequência.

O número total de divisores positivos de N diferentes de N é dado por: N = (x + 1) . (y + 1) . (z + 1) – 1.
Subtraímos um no final da expressão para que o número obtido como solução sempre seja diferente de N.

A alternativa correta para essa questão é a letra e.

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Resposta Questão 2

a) 8 = { 1, 2, 4, 8}

Isso porque:

8 : 1 = 8
8 : 2 = 4
8 : 4 = 2
8 : 8 = 1

b) 32 = { 1, 2, 4, 8, 32}

Isso porque:

32 : 1 = 32
32 : 2 = 16
32 : 4 = 8
32 : 8 = 4
32 : 16 = 2
32 : 32 = 1

c) 100 = {1, 2, 4 , 5, 10, 20, 25, 50, 100}

Isso porque:

100 : 1 = 100
100 : 2 = 50
100 : 4 = 25
100 : 5 = 20
100 : 20 = 5
100 : 25 = 4
100 : 50 = 2
100 : 100 = 1

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Resposta Questão 3

a) 15 = {15, 30, 45, 60, 75}

Isso porque:

15 x 1 = 15
15 x 2 = 30
15 x 3 = 45
15 x 4 = 60
15 x 5 = 75

b) 30 = {30, 60, 90, 120, 150}

Isso porque:

30 x 1 = 30
30 X 2 = 60
30 X 3 = 90
30 X 4 = 120
30 X 5 = 150

c) 6 = {6, 12, 18, 24, 30}

Isso porque:

6 x 1 = 6
6 x 2 = 12
6 x 3 = 18
6 x 4 = 24
6 x 5 = 30

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Resposta Questão 4

Para solucionar essa questão, devemos decompor o número 360 em fatores primos.

360| 2
180| 2
  90| 2
  45| 3
  15| 3
    5| 5
    1|

360 = 23 . 32 . 51

Para saber o número total de divisores de 360, devemos aplicar a fórmula:

D = (a +1). (b + 1) . ( c + 1) …..
D = Número total de divisores de um número
a, b, c = Expoentes da fatoração

Utilizando a fórmula descrita, temos:

D = (3 + 1) . (2 + 1) . (1 + 1)
D = 4 . 3 . 2
D = 24

Para calcularmos a probabilidade de o elemento do conjunto de divisores ser um múltiplo de 12, devemos fatorar o 12.

12| 2
  6| 2
  3| 3
  1|

12 = 22 . 3

Devemos agora escrever 360 a partir da fatoração de 12.
360 = (2². 3) · (21 . 31 . 51)

Agora devemos calcular a quantidade de múltiplos de 12 que são divisores de 360. Para isso, faça:

M = (1 + 1) . (1 + 1) . (1 + 1)
M = 2 . 2 . 2
M = 8

Temos, então, a seguinte probabilidade:

P = quantidade total de múltiplos de 12 que são divisores de 360
Número total de divisores de 360

P = 8:8
     248

P = 1
      3

A alternativa correta dessa questão é a letra c.

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