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Exercícios sobre mudança de base de logaritmos

A resolução de exercícios sobre mudança de base de logaritmos exige a aplicação de todo o conhecimento sobre suas propriedades operatórias.

Questão 1

Determine o valor de log50 100, sabendo que log10 5 = a.

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Questão 2

Calcule log27 z, sabendo que log3 z = w.

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Questão 3

(Vunesp) Se log3 a = x, então log9 é igual a:

a) 2x²

b) x²

c) x + 2

d) 2x

e) x

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Questão 4

(Fuvest) Se x = log4 7 e y = log16 49, então x – y é igual a:

a) log4 7

b) log 7

c) 1

d) 2

e) 0

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Respostas

Resposta Questão 1

Através da fórmula da mudança de base do logaritmo, temos:

Como o exercício sugeriu que log10 5 = a, precisamos que apareça o log10 5 em nossos cálculos. Para isso, faremos c = 10 e teremos:

Sabendo que log10 100 = 2, continuaremos a resolução substituindo ainda log10 50 por log10 (5.10), que equivale a log10 5 + log10 10:

Mas sabemos que log10 5 = a e log10 10 = 1, temos então:

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Resposta Questão 2

Pela fórmula da mudança de base do logaritmo, temos:

Se log3 z = w, precisamos que apareça o log3 z no desenvolvimento do cálculo. Para isso, podemos fazer c = 3. Logo, teremos a seguinte equação:

Sabendo que log3 27 = 3 e, segundo o enunciado, log3 z = w, temos então:

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Resposta Questão 3

Resolvendo o logaritmo log9, podemos extrair o expoente do logaritmando como produto do logaritmo, isto é:

Através da fórmula da mudança de base, temos que:

Façamos c = 3, logo:

Mas log3 a = x e log3 9 = 2, temos então:

Portanto, a alternativa correta é a letra e.

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Resposta Questão 4

A fim de possibilitar o cálculo de x – y, reescreveremos y na mesma base de x. Para isso, utilizaremos a fórmula da mudança de base:

Como queremos igualar as bases, faremos c = 4. Logo:

Facilmente vemos que log4 16 = 2. Podemos ainda escrever 49 na forma de potência, isto é, . Sendo assim:

Mas log4pode ser expresso como o produto 2. log4 7, assim, teremos:

Mas se y = log16 49 = log4 7, então y = x. Sendo assim, x – y = 0. Portanto, a alternativa correta é a letra e.

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