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Exercícios sobre fatorações simultâneas

Estes exercícios sobre fatorações simultâneas exigem conhecimentos acerca das formas de fatoração.

Questão 1

Resolva a expressão (x + y)² – (x – y)² de duas formas distintas.

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Questão 2

Simplifique ao máximo a expressão a seguir utilizando os casos de fatoração:

      a² – b²      . a ³ – b³
a² – 2ab + b²     a³ + b³

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Questão 3

(U.E. FEIRA DE SANTANA) Simplificando a expressão abaixo obtém-se:

x² + xy .         x² – y²      
xy – y²     x² + y² + 2xy  

a)       1       
      x² + y²

b)           1         
     x² + y² + 3xy

c)         2x² + x      
       x² + y² + xy

d)
  
2y

e) x
   
y

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Questão 4

(UFMG) Considere o conjunto de todos os valores de x e y para os quais a expressão a seguir está definida.

Assim, a expressão equivalente a M é:

a) (x – y)(x + y)

b) (x – y)(x² + y²)

c) x – y
   
x² + y²

d) x – y
    x + y

e) (x – y)·(x² + y²)
          x + y

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Respostas

Resposta Questão 1

Resolveremos a expressão utilizando o caso de fatoração “trinômio quadrado perfeito”:

(x + y)² – (x – y)²
(x² + 2xy + y²) – (x² – 2xy + y²)
+ 2xy + – x² + 2xy – y²
4xy

Agora, através da “diferença de dois quadrados”, resolveremos a expressão de outra forma:

(x + y)²(x – y)²
[(x + y) + (x – y)]·[(x + y)(x – y)]
(x + y + x – y) · (x + y – x + y)
(2x) · (2y)
4xy

Provamos por duas formas distintas que (x + y)² – (x – y)² = 4xy.

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Resposta Questão 2

Podemos reescrever o numerador da primeira fração utilizando a “diferença de dois quadrados” e o seu denominador através do “trinômio quadrado perfeito”:

(a + b) · (a – b) . a³ – b³
       (a + b)²        a³ + b³

(a + b) · (a – b) . a³ – b³
(a – b) · (a – b)   a³ + b³

Simplificando o termo (a – b) no numerador e no denominador da primeira fração:

(a + b) . a³ – b³
(a – b)   a³ + b³

Na segunda fração, desenvolveremos o numerador pela fatoração da “diferença de cubos”: a³ – b³ = (a – b)·(a² + ab + b²). Podemos ainda desenvolver o denominador pela “soma de cubos”, que afirma que a³ + b³ = (a + b)·(a² – ab + b²).

(a + b) . (a – b)·(a² + ab + b²)
(a – b)   (a + b)·(a² – ab + b²)

Ao simplificar no denominador e no numerador os termos (a + b) e (a – b) que se repetem, chegamos à seguinte expressão:

a² + ab + b²
a² – ab + b²

Essa é a forma mais simples da expressão dada.

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Resposta Questão 3

Na primeira fração utilizaremos a técnica de fatoração do fator comum, colocando em evidência o x no numerador e o y no denominador da fração:

x·(x + y) .       x² – y²     
y·(x – y)     x² + y² + 2xy

Na segunda fração, podemos aplicar dois casos de fatoração diferentes. No numerador, utilizaremos a diferença de dois quadrados; já no denominador, o trinômio quadrado perfeito:

x·(x + y) . (x + y)·(x – y)
y·(x – y)        (x + y)²    

x·(x + y)·(x + y)·(x – y)
y·(x – y)·(x + y)²

Como temos apenas multiplicações de termos tanto no numerador quanto no denominador da fração, podemos simplificar os termos que se repetem em ambos. Observe o destaque em cores dos termos que aparecem no numerador e no denominador simultaneamente:

(x + y)·(x + y)·(x – y) = x
     y·(x – y)·(x + y)²         y

Simplificando os termos comuns, resta apenas a fração x/y. Portanto, a resposta correta é a alternativa e.

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Resposta Questão 4

Para determinar o valor de M, vamos resolver a expressão em duas partes. Calculando apenas o numerador de M, temos:

= x4 – y4
y²    x²      x²y²   

Observe que podemos aplicar o caso de fatoração “diferença de dois quadrados” no numerador x4 – y4, escrevendo-o como (x² – y²)·(x² + y²). Mas nesse primeiro parêntese, podemos utilizar novamente a “diferença de dois quadrados”. Portanto, o numerador de M pode ser expresso como:

(x – y)·(x + y)·(x² + y²)
x²y²

Vamos agora resolver o denominador de M:

1 + 2 + 1 = y² + 2xy + x² = (x + y)²
x²   xy   y²          x²y²            x²y²    

Unindo o numerador e o denominador de M que calculamos, teremos a seguinte expressão:

Podemos cancelar os dois denominadores x²y², restando apenas:

M = (x – y)·(x + y)·(x² + y²)
     (x + y)²

Se reescrevermos o denominador sem utilizar a potência, podemos observar os termos que se repetem:

M = (x – y(x + y)·(x² + y²)
       (x + y)·(x + y)

Simplificando os termos (x + y) no numerador e no denominador:

M = (x – y)·(x² + y²)
       x + y

Portanto, a resposta correta está na alternativa e.

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