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Exercícios sobre expressões numéricas envolvendo potências

A resolução de exercícios sobre expressões numéricas envolvendo potências é uma boa pedida para praticar todas as propriedades operacionais de potenciação.

Questão 1

Utilizando as propriedades das potências, reduza a expressão a seguir a uma única potência:

[52 . 55 . 1254 ]3 : [252 . 52 . 5]2

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Questão 2

Utilizando as propriedades de potenciação e sabendo que a = 2, calcule o valor numérico da expressão:

A = a² – (– a)³ + a¹ + (– a³)²
       
a – 1 + (– a) 2 – a – 1

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Questão 3

Utilize as propriedades da potenciação para encontrar o valor numérico de

[(100 – 26 . 4 – 3). 32]– 1 : (23 . 32)– 2

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Questão 4

(UFMG) A expressão  com a ≠ 0 é equivalente a:

a) 9√-a5

b) 9√ a5

c) -9√a-7

d) 9√ a7

e) 9√ a-7

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Questão 5

(UEL) Se x e y são números reais, então:

a) (3x)y

b) (2x.3y)2 = 22x.32y

c) (2x – 3x)y = 2xy.3xy = – 1xy

d) 5x + 3x = 8x

e) 3.2x = 6x

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Questão 6

(UEL) Simplificando-se a expressão  para n  , obtém-se:

a) 1/6

b) 1/3

c) 6 . 3n – 1

d)1 – 31 – n

e) – 3n + 1

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Respostas

Resposta Questão 1

Primeiramente, vamos escrever todos os termos da expressão como potências de base 5. Sabemos que:

125 = 53
25 = 52

Então a expressão ficará:

[52 . 55 . (53)4 ]3 : [(52)2 . 52 . 51]2

Aplicando a propriedade de “potência de potência”, podemos eliminar os parênteses, multiplicando os expoentes:

[52 . 55 . 512 ]3 : [54 . 52 . 51]2

Para multiplicar potências de mesma base, basta conservar a base e somar os expoentes:

[52 + 5 + 12 ]3 : [54 + 2 + 1]2

Aplicando novamente a propriedade de “potência de potência”, temos:

519.3 : 57.2
557 : 514

Resta apenas realizar o quociente. Como as bases são as mesmas, podemos conservá-las e apenas subtrair os expoentes:

557 – 14
543

Portanto, a expressão [52 . 55 . 1254 ]3 : [252 . 52 . 5]2 equivale a 543.

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Resposta Questão 2

Antes de substituir o valor de a, vamos aplicar a propriedade de “potência de potência” ao último parêntese do numerador. Também podemos cancelar a-1 com a-1 no denominador e ainda eliminar o primeiro parêntese do numerador:

A = a² + a³ + a¹ + a6
       
a2

Vamos agora realizar a divisão de cada elemento do numerador pelo denominador , lembrando que, no quociente de potências de mesma base, conservamos a base e subtraímos os expoentes:

A = a2 – 2 + a3 – 2 + a1 – 2 + a6 – 2
A = a0 + a1 + a–1 + a4

O que equivale a:

A = 1 + a + 1 + a4
              
a

Agora sim vamos substituir a por 2:

A = 1 + 2 + 1 + 24
           2

A = 3 + 1 + 16
     2

A = 1 + 19

A = 1 + 38
       2

A = 39
       2

Portanto, para a = 2, o valor numérico da expressão é 39/2.

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Resposta Questão 3

Vamos começar a resolver essa expressão pelos parênteses que estão entre os colchetes. Sabemos que qualquer número elevado ao expoente zero é sempre igual a 1 e que 4 = 2², logo, podemos reescrever a expressão da seguinte forma:

[(1 – 26 . (22) – 3) . 32]– 1 : (23 . 32)– 2

Aplicando a propriedade de “potência de potência”, podemos afirmar que (22) – 3 = 2– 6, assim, teremos:

[(1 – 26 . 2 – 6) . 32]– 1 : (23 . 32)– 2

Temos destacado em vermelho a multiplicação de potências de mesma base. Operando-as, conservaremos a base e somaremos os expoentes:

[(1 – 26 – 6) . 32]– 1 : (23 . 32)– 2
[(1 – 20) . 32]– 1 : (23 . 32)– 2
[(1 – 1) . 32]– 1 : (23 . 32)– 2
[(0) . 32]– 1 : (23 . 32)– 2
0 : (23 . 32)– 2
0

Portanto, o valor numérico de [(100 – 26 . 4 – 3). 32]– 1 : (23 . 32)– 2 é zero.

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Resposta Questão 4

Inicialmente, podemos remover os parênteses. No primeiro, aplicamos a propriedade de “potência de potência”, isto é, multiplicamos o expoente interno pelo expoente que está externo aos parênteses. No segundo parêntese, o sinal fica positivo e os elementos da fração recebem o expoente 2. Logo:

Podemos ainda reescrever a última fração presente no numerador como uma potência de base a e expoente – 2:

Sabendo que, no produto de potências de mesma base, conserva-se a base e somam-se os expoentes e que, no quociente de potências de mesma base, conservam-se as bases e subtraem-se os expoentes, temos:

Vamos calcular como ficará o expoente do numerador da expressão:

1 + (– 2) – (– 2) = – 1 – 6 + 18 = 11
   
9       3                           9             9

Essa expressão pode ser escrita como:

Aplicando novamente a propriedade do quociente de potências de mesma base, temos:

Sabendo que toda potência de expoente fracionário pode ser expressa como uma radiciação, temos:

A alternativa correta é a letra c.

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Resposta Questão 5

Para encontrar a alternativa correta, vamos analisar cada um dos itens:

a) (3x)y

Segundo a propriedade de “potência de potência”, devemos multiplicar o expoente que está externo ao parêntese por aquele que está interno. Sendo assim, a alternativa está incorreta, e o adequado seria (3x)y =3xy.

b) (2x.3y)2 = 22x.32y

Pela propriedade de “potência de potência”, podemos multiplicar o expoente externo aos parênteses pelos expoentes internos. Logo, a alternativa está correta.

Continuaremos a analisar as demais afirmativas a fim de comprovar quais estão incorretas:

c) (2x – 3x)y = 2xy.3xy = – 1xy

Na primeira igualdade foi aplicada corretamente a propriedade de “potência de potência”, entretanto, há um erro na segunda igualdade. Nesse caso, poderíamos multiplicar as bases, mantendo o expoente, que é o mesmo. Isso equivale ao cálculo 2xy.3xy = (2.3)xy = 6xy.

d) 5x + 3x = 8x

Essa alternativa está incorreta porque não podemos somar bases distintas como foi feito. Não há uma resolução para 5x + 3x.

e) 3.2x = 6x

Essa alternativa também está incorreta, pois o expoente x pertence apenas à base 2. Não podemos estendê-lo ao produto 3.2.

Portanto, realmente, a única alternativa correta é a letra b.

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Resposta Questão 6

Primeiramente, vamos escrever toda a expressão como potências de base 3, o que resultará em:

Sabendo que, no produto de potências de mesma base, conserva-se a base e somam-se os expoentes, temos:

Podemos agora aplicar a propriedade do quociente de potências de mesma base que nos permite conservar a base e subtrair os expoentes, isto é:

3(3 – n) – (4 – n) = 33 – n – 4 + n = 3 – 1 = 1
                                                              
3

Portanto, a alternativa correta é a letra b.

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