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Exercícios sobre equação modular

Na resolução destes exercícios sobre equação modular, é necessário verificar a condição inicial de existência do módulo, bem como as possíveis formas de solução.

Questão 1

Resolva a equação modular |3x – 1| = |2x + 6|.

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Questão 2

Determine quais números compõem o conjunto solução da equação modular a seguir:

|4x + 3| = – 3x + 7

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Questão 3

Encontre o conjunto solução da equação modular |x + 1| + |2x – 1| = 3.

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Questão 4

(PUC – SP) O conjunto solução S da equação |2x – 1| = x – 1 é:

a) S = {0, 2/3}

b) S = {0, 1/3}

c) S = Ø

d) S = {0, – 1}

e) S = {0, 4/3}

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Questão 5

(UEPA) O conjunto solução da equação |x|² – 2|x| – 3 = 0 é igual a:

a) S = {– 1, 3}

b) S = {– 3, 3}

c) S = {– 1, 1}

d) S = {– 3, 1}

e) S = {1, 3}

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Questão 6

(Mackenzie – SP) A soma dos valores de x que satisfazem a igualdade |x² – x – 2| = 2x + 2 é:

a) 1

b) 3

c) – 2

d) 2

e) – 3

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Respostas

Resposta Questão 1

Para resolver a equação modular proposta, precisamos nos lembrar da seguinte propriedade:

De acordo com essa propriedade, podemos montar as duas seguintes equações:

3x – 1 = 2x + 6
3x – 2x = 6 + 1
x = 7
3x – 1 = – (2x + 6)
3x – 1 = – 2x – 6
3x + 2x = – 6 + 1
5x = – 5
x = – 1

Temos então o seguinte conjunto solução: S = {– 1, 7}.

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Resposta Questão 2

A propriedade básica de módulo afirma que . Sendo assim, temos duas resoluções possíveis para essa equação modular:

4x + 3 = – 3x + 7
4x + 3x = 7 – 3
7x = 4
x = 4
      7
4x + 3 = – (– 3x + 7)
4x + 3 = 3x – 7
4x – 3x = – 7 – 3
x = – 10

Portanto, o conjunto solução da equação é dado por S = {– 10, 4/7}.

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Resposta Questão 3

Para resolver essa equação modular, dividiremos a análise dos módulos em etapas:

I) |x + 1|

|x + 1| = x + 1, se x + 1 ≥ 0
x + 1 ≥ 0
x ≥ – 1

|x + 1| = x + 1, se x ≥ – 1

|x + 1| = – (x + 1), se x + 1 < 0
x + 1 < 0
x < – 1

|x + 1| = – x – 1, se x < – 1

II) |2x – 1|

|2x – 1| = 2x – 1, se 2x – 1 ≥ 0
2x – 1 ≥ 0
x ≥ ½

|2x – 1| = 2x – 1, se x ≥ ½

|2x – 1| = – (2x – 1), se 2x – 1 < 0
2x – 1 < 0
x < ½

|2x – 1| = – 2x + 1, se x < ½

Observe no quadro a seguir como se comportam as soluções:

Faremos agora o estudo de cada caso:

– 3x = 3
x = 3
   – 3
x' = – 1
– x + 2 = 3
– x = 3 – 2
x'' = – 1
3x = 3
x = 3
      3
x'' = 1

Vamos substituir os valores encontrados (x' = – 1 e x'' = 1) na equação:

|x + 1| + |2x – 1| = 3
|– 1 + 1| + |2.(– 1) – 1| = 3
0 + |– 2 – 1| = 3
|– 3| = 3
3 = 3
A igualdade é verdadeira!
|x + 1| + |2x – 1| = 3
|1 + 1| + |2.1 – 1| = 3
|2| + |2 – 1| = 3
|2| + |1| = 3
2 + 1 = 3
3 = 3
A igualdade é verdadeira!

Portanto, o conjunto solução dessa equação é S = {– 1, 1}.

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Resposta Questão 4

Como o módulo |2x – 1| não pode ser negativo, precisamos que x – 1 seja maior ou igual a zero.

x – 1 ≥ 0
x ≥ 1

Resolvendo a equação modular |2x – 1| = x – 1, podemos estabelecer outras duas igualdades:

2x – 1 = x – 1
2x – x = – 1 + 1
x = 0
2x – 1 = – (x – 1)
2x – 1 = – x + 1
2x + x = 1 + 1
3x = 2
x = 2/3

Portanto, o conjunto solução seria S = {0, 2/3}, mas pela condição inicial, vimos que x ≥ 1 e os dois valores da solução são menores do que 1. Portanto, a solução correta é S = Ø, e a alternativa que indica a resposta adequada é a letra c.

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Resposta Questão 5

Para resolver equações modulares quadradas, o ideal é substituir o módulo da variável por uma incógnita qualquer. Sendo assim, faremos |x| = y, com y 0, pois o módulo não pode ser negativo. Chegaremos à seguinte equação do 2° grau:

y² – 2y – 3 = 0

Para resolver essa equação, utilizaremos a fórmula de Bhaskara:


Δ = (– 2) – 4.1.(– 3)
Δ = 4 + 12
Δ = 16

y = –(– 2) ± √16
       2.1

y = 2 ± 4
     2

y' = 2 + 4 = 6 = 3
   2       2

y'' = 2 – 4 = – 2 = – 1
 2        2

Encontramos dois valores para y: y' = 3 e y'' = – 1. Mas como y 0, a solução adequada é apenas y' = 3. Voltemos agora à equação modular |x| = y. Se , então |x| = 3 ↔ x' = 3 e x'' = – 3.

O conjunto solução correto é o indicado na alternativa b.

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Resposta Questão 6

Sabendo que o módulo |x² – x – 2| não pode ser negativo, temos a condição inicial de que 2x + 2 deve ser maior ou igual a zero. Logo:

2x + 2 ≥ 0
2x ≥ – 2
x ≥ – 2
      2
x ≥ – 1

Resolvendo a equação modular |x² – x – 2| = 2x + 2, podemos criar duas equações do 2° grau, que resolveremos através da fórmula de Bhaskara:

x² – x – 2 = 2x + 2
x² – x – 2x – 2 – 2 = 0
x² – 3x – 4 = 0


Δ = (– 3)² – 4.1.(– 4)
Δ = 9 + 16
Δ = 25

x = – (– 3) ± √25
    2.1

x = 3 ± 5
     2

x' = 3 + 5 = 4
    2       2

x'' = 3 – 5 – 2 = – 1
 2        2

x² – x – 2 = – (2x + 2)
x² – x – 2 = – 2x – 2
x² – x + 2x – 2 + 2 = 0
x² + x = 0


Δ = 1² – 4.1.0
Δ = 1

x = – 1 ± √1
      2.1

x = – 1 ± 1
      2

x' = – 1 + 1 = 0
      2       2

x'' = – 1 – 1 – 2 = – 1
 
2         2

Portanto, o conjunto solução é S = {– 1, 0, 4}. Todos os valores encontrados pertencem à solução, pois a condição inicial estabelece que x ≥ – 1. No entanto, o enunciado pede o valor da soma dos valores de x, logo, – 1 + 0 + 4 = 3. Sendo assim, a alternativa correta é a letra b.

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