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Exercícios sobre equação logarítmica

Na resolução de exercícios sobre equação logarítmica, aplicamos princípios da resolução de equações, bem como as propriedades operatórias dos logaritmos.

Questão 1

Descubra o valor de x para que a igualdade abaixo seja válida.

log2 (3x + 10) – log2 x = log2 5

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Questão 2

Resolva a equação logarítmica logx + 3 (5x – 1) = 1.

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Questão 3

(Fuvest) O número real x que satisfaz a equação log2 (12 - 2x) = 2x é:

a) log2 5

b) log2 √3

c) 2

d) log2 √5

e) log2 3

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Questão 4

(UEL) A solução real da equação  é:

a) 1/9

b) – 1/5

c) – 1

d) – 5

e) – 9

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Respostas

Resposta Questão 1

Vamos verificar as condições de existência dos logaritmos:

3x + 10 > 0
3x > – 10
x > – 10
3
        x > 0

Sabendo que a subtração de logaritmos de mesma base pode ser expressa como um quociente, reescreveremos a equação da seguinte forma:

log2 (3x + 10) – log2 x = log2 5

Podemos desconsiderar os logaritmos e igualar os logaritmandos:

3x + 10 = 5
x      
5x = 3x + 10
5x – 3x = 10
2x = 10
x = 10
     2
x = 5

Portanto, o único valor de x para que a igualdade log2 (3x + 10) – log2 x = log2 5 seja válida é 5.

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Resposta Questão 2

Vamos verificar as condições de existência do logaritmo:

x + 3 > 0
x > – 3
5x – 1 > 0
5x > 1
x > 1/5

Resolveremos a equação logarítmica pela propriedade básica do logaritmo:

logx + 3 (5x – 1) = 1
(5x – 1)1 = x + 3
5x – 1 = x + 3
5x – x = 3 + 1
4x = 4
x = 4
      4
x = 1

A única solução possível para logx + 3 (5x – 1) = 1 é x = 1.

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Resposta Questão 3

Podemos aplicar a propriedade básica dos logaritmos:

log2 (12 – 2x) = 2x
22x = 12 – 2x
(2x)2 = 12 – 2x

Com 2x = y, teremos a seguinte equação:

y² = 12 – y
y² + y – 12 = 0

Chegamos a uma equação do 2° grau. Para resolvê-la, utilizaremos a fórmula de Bhaskara:


Δ = b² – 4.a.c
Δ = 1² – 4.1.(– 12)
Δ = 1 + 48
Δ = 49

y = – b ± √Δ
     2.a

y = – 1 ± √49
      2.1

y = – 1 ± 7
      2

y1 = – 1 + 7 = 6 = 3
       2       2

y2 = – 1 – 7 = – 8 = – 4
  2         2

Vamos agora resolver a equação 2x = y:

2x = y1
2x = 3
log2 3 = x
2x = y2
2x = – 4
log2 (– 4) = x

Note que a solução log2 (– 4) = x não é válida porque o logaritmando não pode ser menor do que zero. Portanto, a única solução possível é log2 3 = x. Sendo assim, a alternativa correta é a letra e.

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Resposta Questão 4

Verificando as condições de existência do logaritmo, temos:

2x > 0
x > 0
x + 1 > 0
x > – 1

Podemos reescrever o logaritmo como um quociente de logaritmos:


O logaritmo negativo de um número, por sua vez, pode ser expresso como o logaritmo positivo do inverso desse número:

Podemos agora descartar os logaritmos e manter a igualdade entre os logaritmandos:

1 = 2x
   5   x + 1
10x = x + 1
10x – x = 1
9x = 1
x = 1
      9

Portanto, a alternativa correta é a letra a.

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