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Exercícios sobre equação exponencial

Para resolver exercícios sobre equação exponencial, o ideal é encontrar uma igualdade entre potências de mesma base para que se igualem também os expoentes.

Questão 1

Se x é um número real, resolva a equação exponencial 32x + 3x + 1 = 18:

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Questão 2

Resolva a equação exponencial:

5x – 1 – 5x + 5x + 2 = 119

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Questão 3

(UFJF) Dada a equação 23x – 2 · 8x + 1 = 4x – 1, podemos afirmar que sua solução é um número:

a) natural.

b) maior do que 1.

c) de módulo maior do que 1.

d) par.

e) de módulo menor do que 1.

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Questão 4

(Mackenzie – SP) A soma das raízes da equação 22x + 1 – 2x + 4 = 2x + 2 – 32 é:

a) 2

b) 3

c) 4

d) 6

e) 7

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Respostas

Resposta Questão 1

Para resolver a equação exponencial 32x + 3x + 1 = 18, reescreveremos como produto de potências aquelas potências cujo expoente possui somas.

32x + 3x + 1 = 18
(3x)2 + 3x · 31= 18

Tome y = 3x. Temos a seguinte equação em função de y:

y2 + y · 31= 18
y2 + 3y – 18 = 0

Vamos então resolver essa equação do 2° grau pela fórmula de Bhaskara:


Δ = b² – 4.a.c
Δ = 3² – 4.1.(– 18)
Δ = 9 + 72
Δ = 81

y = – b ± √Δ
     2.a

y = – 3 ± √81
      2.1

y = – 3 ± 9
      2

y1 = – 3 + 9
        2

y1 = 6
        2

y1 = 3

y2 = – 3 – 9
       2

y2 = – 12
        2

y2 = – 6

Voltando à equação y = 3x, temos:

Para y1 = 3

3x = y
3x = 3
x1 = 1

Para y2 = – 6

3x = y
3x = – 6
x2 = Ø

Há, portanto, um único valor real para x. A solução da equação é x = 1.

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Resposta Questão 2

Como temos na equação a adição e a subtração de potências, não podemos escrever o primeiro membro como uma só potência, mas podemos desmembrar as potências na maior quantidade possível. Isso corresponde a escrever a equação da seguinte forma:

5x – 1 – 5x + 5x + 2 =
5x · 5– 1 – 5x + 5x · 52 =

Colocando o termo 5x em evidência, temos:

5x · (– 5– 1 – 1 + 52) =
5x · (– 1/5 – 1 + 25) =


5x = 5
x = 1

Portanto, a solução da equação exponencial – 5x – 1 – 5x + 5x + 2 = 119 é x = 1.

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Resposta Questão 3

A fim de facilitar a resolução da equação exponencial 23x – 2 · 8x + 1 = 4x – 1, vamos reescrever todas as potências na base 2. A saber, temos: 4 = 22 e 8 = 23. Substituindo na equação:

23x – 2 · 8x + 1 = 4x – 1
23x – 2 · (23)x + 1 = (22)x – 1
23x – 2 · 23(x + 1) = 22(x – 1)
23x – 2 · 23x + 3 = 22x – 2
2(3x – 2 ) + (3x + 3) = 22x – 2

Como temos uma equação exponencial que apresenta potências de mesma base nos dois lados da equação, podemos igualar os expoentes:

(3x – 2) + (3x + 3) = 2x – 2
6x + 1 = 2x – 2
6x – 2x = – 2 – 1
4x = – 3
x = – 3
      4
|x| = ¾

Portanto, a alternativa que classifica corretamente o resultado da equação é a letra e, que afirma que x é um número de módulo menor do que 1.

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Resposta Questão 4

Para resolver a equação exponencial 22x + 1 – 2x + 4 = 2x + 2 – 32, começaremos separando as potências que apresentam somas no expoente, escrevendo-as como produto de potências.

22x + 1 2x + 4 = 2x + 2 32
2x · 2x · 21 2x · 24 = 2x · 22 32

Façamos 2x = y:

y · y · 21 y · 24 = y · 22 32
y2 · 21 y · 16 = y · 4 32
2y2 16y 4y + 32 = 0
2y2 – 20y + 32 = 0

Chegamos a uma equação do 2° grau, que pode ser resolvida fórmula de Bhaskara. A fim de trabalhar com números menores, podemos dividir toda a equação por 2, sem prejuízo no resultado final.

y2 – 10y + 16 = 0

Δ = b² – 4.a.c
Δ = (– 10)² – 4.1.16
Δ = 100 – 64
Δ = 36

y = – b ± √Δ
2.a

y = – (– 10) ± √36
2.1

y = 10 ± 6
2

y1 = 10 + 6
2

y1 = 16
2

y1 = 8

y2 = 10 – 6
2

y2 = 4
2

y2 = 2

Agora que encontramos os possíveis valores de y, podemos resolver a equação exponencial que criamos no início do exercício:

Para y1 = 8

2x = y
2x = 8
2x = 23
x1 = 3

Para y2 = 2

2x = y
2x = 2
2x = 21
x2 = 1

O enunciado pediu a soma das raízes da equação exponencial. Como as raízes são x1 = 3 e x2 = 1, então a soma é x1 + x2 = 3 + 1 = 4. Portanto, a alternativa correta é a letra c

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