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Exercícios sobre Equação Biquadrada

É possível resolver exercícios sobre equação biquadrada convertendo-a em uma equação polinomial do segundo grau.

Questão 1

(FACESP) O conjunto solução, no campo real, da equação z4 – 13z2 + 36 = 0 é:

a) S = {-3, -2, 0, 2, 3}

b) S = {-3, -2, 2, 3}

c) S = {-2, -3}

d) S = {0, 2, 3}

e) S = {2, 3}

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Questão 2

(Cesgranrio) O produto das raízes positivas de x4 – 11x2 + 18 = 0 vale:

a) 2√3

b) 3√2

c) 4√3

d) 4√2

e) 5√3

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Questão 3

Determine o valor de x para a equação x10 – 33x5 + 32 = 0.

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Questão 4

Encontre o valor de x para a equação x6 + 6x3 + 9 = 0

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Respostas

Resposta Questão 1

Primeiramente vamos reescrever essa equação para convertê-la em uma equação do segundo grau. Portanto:

z2 = x

Podemos escrever a equação z4 – 13z2 + 36 = 0 como (z2)2 – 13z2 + 36 = 0. Onde há z2, substituiremos por x. Teremos a seguinte equação do segundo grau:

x2 – 13x +36 = 0

Utilizaremos a Fórmula de Bhaskara para resolver a equação de segundo grau. Para isso, temos os coeficientes a = 1; b = – 13 e c = 36.

x = – b ±√Δ
       2.a

Vamos encontrar o valor de delta:

Δ = b2 – 4.a.c
Δ= (– 13)2 – 4.1.36
Δ= 169 – 144
Δ= 25

Substituindo os valores na fórmula de Bhaskara, temos:

x = – b ±√Δ
        2.a
x = – (-13) ±√25
             2.1
x = 13 ± 5
       
2
x' = 13 + 5 = 18 = 9
     
2        2
x'' = 13 – 5 = 8 = 4
      2       2

Os possíveis valores para x são 4 e 9. Sabemos também que z2 = x. Vamos agora verificar os valores de z, se x' = 9:

(z')2 = 9
z' = √9
z' = ± 3

Se x'' = 4, temos ainda:

(z'')2 = 4
z'' = √4
z'' = ± 2

Portanto, as raízes da equação são: – 3, – 2, 2 e 3. A alternativa correta é a (b)

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Resposta Questão 2

Vamos reescrever a equação x4 – 11x2 + 18 = 0 da seguinte forma:

(x2)2 – 11x2 + 18 = 0

Fazendo x2 = y, teremos:

y2 – 11 y + 18 = 0

Tendo agora uma equação do 2º grau, podemos destacar os coeficientes a = 1; b = – 11 e c = 18. Vamos então aplicar esses valores na Fórmula de Bhaskara:

y = – b ±√Δ
       2.a

Encontraremos os valores de delta:

Δ = b2 – 4.a.c
Δ= (– 11)2 – 4.1.18
Δ= 121 – 72
Δ= 49

Vamos agora substituir os valores para encontrar y:

y = – b ±√Δ
      2.a
y = – (– 11) ±√49
        2.1
x = 11 ± 7
      2
x' = 11 + 7 = 18 = 9
     
2        2
x'' = 11 – 7 = 4 = 2
      
2       2

Fazendo x2 = y e considerando y' = 9, temos:

(x')2 = 9
x' = √9
x' = ± 3

Para y'' = 2, segue:

(x'')2 = 2
x'' = √2
x'' = ± √2

O exercício pediu que multiplicássemos as raízes positivas, sendo assim, teremos:

x'.x'' = 3.√2

Portanto, a alternativa correta é a (b).

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Resposta Questão 3

Para resolvermos a equação, vamos reescrevê-la a fim de convertê-la em uma equação de 2º grau:

(x5)2 – 33x5 + 32 = 0

Façamos x5 = y. Teremos a seguinte equação:

y2 – 33y + 32 = 0

Os coeficientes dessa equação são a = 1, b = – 33 e c = 32. Vamos então resolvê-la utilizando a fórmula de Bhaskara:

y = – b ±√Δ
      2.a

Vamos primeiramente encontrar o valor de delta:

Δ = b2 – 4.a.c
Δ= (– 33)2 – 4.1.32
Δ= 1089 – 128
Δ= 961

Substituindo os valores na Fórmula de Bhaskara, teremos:

y = – b ±√Δ
       2.a
y = – (– 33) ±√961
        
2.1
x = 33 ± 31
      
2
x' = 33 + 31 = 64 = 32
    
2         2
x'' = 33 – 31 =  2 = 1
        
2        2

Mas como x5 = y, se y' = 32:

(x')5 = 32
x' = 5
√32
x' = 2

Se y'' = 1:

(x'')5 = 1
x'' = 5√1
x'' = 1

Portanto, os valores possíveis para x são 1 e 2.

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Resposta Questão 4

Novamente vamos tentar deixar essa equação no formato de uma equação de 2 º grau.

(x 3)2 + 6x3 + 9 = 0

Fazendo x3 = y, temos:

y2 + 6y + 9 = 0

Os coeficientes dessa equação são a = 1, b = 6 e c = 9. Vamos resolvê-la utilizando a fórmula de Bhaskara:

y = – b ±√Δ
      2.a

Vamos primeiramente encontrar o valor de delta:

Δ = b2 – 4.a.c
Δ= 62 – 4.1.9
Δ= 36 – 36
Δ= 0

Agora substituir os valores na Fórmula de Bhaskara:

y = – b ±√Δ
     2.a
y = – 6 ±√0
       
2.1
y = – 6 ± 0
     
2
y = – 6
     2
y = – 3

Mas como x3 = y:

x3 = y
x3 = – 3
x = 3
√-3

Portanto, o valor de x é a raiz cúbica de – 3.

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