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Exercícios sobre divisão de números complexos

Estes exercícios sobre divisão de números complexos testarão seus conhecimentos sobre o tema. Apresentamos também a resolução comentada de cada uma das questões.

Questão 1

Dados os números complexos:

z = 5 + 2i

w = 2 + 4i

k = 1 + 2i

Qual é a solução da expressão a seguir?

zw
k

a) 10 + 4i

b) 25 + 10i

c) 50 + 10i

d) 50 + 20i

e) 10 + 20i

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Questão 2

Dados os números complexos z = a + bi e w = c + di, assinale a alternativa correta entre as afirmações a seguir.

a) zw = ac + bdi

b) z/w = ac + bdi
                 ac

c) z/w = ac + adi + bci – bd
                        a – b

d) zw = abcdi

e) z/w = ac – adi + bci + bd
                       c + d

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Questão 3

Considerando o produto entre dois números complexos z = 2 + 3i e w= 10 - 5i, qual é o número complexo w?

a) 5 – 4i

b) 5 – 40i
       13

c) 35 – 40i
       13

d) 35i
    13

e) i

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Questão 4

(UFRS/modificada) Qual é a forma a + bi do número complexo a seguir?

1 + 2i
1 – i

a) 1 + 3i
       2

b) – 1 + 3i
         2

c) – 1   +   2i  
      2        3

d) – 1    2i 
       2       3

e) 1 – 3i
       2

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Respostas

Resposta Questão 1

Basta substituir os complexos na expressão. Primeiramente, realizaremos a multiplicação presente no numerador.

zw
k

(5 + 2i)(2 + 4i)
    1 + 2i  

10 + 20i + 4i + 8i2
      1 + 2i   

10 + 24i – 8
   1 + 2i  

2 + 24i
1 + 2i

Agora, basta realizar a divisão, multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador:

(2 + 24i)(1 – 2i)
(1 + 2i)(1 – 2i)

2 – 4i + 24i – 48i2
     1 + 4   

2 + 20i + 48
     1 + 4   

50 + 20i
     5    

Simplificando, teremos:

10 + 4i

Alternativa A

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Resposta Questão 2

O exercício trata apenas de multiplicação e divisão de complexos. Observe qual é o resultado da divisão z/w:

(a + bi)(c – di)
(c + di)(c – di)

ac – adi + bci – bdi2
       c + d      

ac – adi + bci + bd
        c + d       

Alternativa E

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Resposta Questão 3

Para encontrar w, precisamos dividir 10 – 5i por 2 + 3i:

10 – 5i
 2 + 3i

(10 – 5i)(2 – 3i)
(2 + 3i)(2 – 3i)

20 – 30i – 10i + 15i2
         4 + 9        

20 – 40i – 15
      13     

5 – 40i
  13  

Alternativa B

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Resposta Questão 4

Para encontrar a forma a + bi do número complexo, temos que realizar a divisão proposta. Observe:

1 + 2i
1 – i

(1 + 2i)(1 + i)
(1 – i)(1 + i)

1 + i + 2i + 2i2
     1 + 1      

1 + 3i – 2
      2    

– 1 + 3i
     2  

Alternativa B

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