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Exercícios sobre demonstração da fórmula de Bháskara

Com estes exercícios, é possível testar seus conhecimentos sobre a demonstração da fórmula de Bháskara, importante método utilizado na resolução de equações do segundo grau.

Questão 1

Um retângulo possui área igual a 60 m2. Sabendo que seus lados medem x + 3 e x – 2, qual das equações a seguir representa a relação entre as medidas de seus lados e a medida de sua área?

a) x + 1 = 60

b) x + 3 + x – 2 = 60

c) 2x2 – 6 = 60

d) x2 + x – 66 = 0

e) x2 + x = 54

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Questão 2

Um polígono regular possui 170 diagonais. Quantos lados ele tem?

a) 15

b) 17

c) 20

d) 23

e) 25

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Questão 3

Qual é a medida do maior lado de um retângulo cuja área é igual a 72 m2 e cuja base mede o dobro de sua altura?

a) 12 metros

b) 8 metros

c) 6 metros

d) 5 metros

e) 1 metro

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Questão 4

Um retângulo possui medidas 2 x 5 metros. Se aumentarmos sua base na mesma quantidade em que aumentarmos sua altura, sua área será sete vezes a área do retângulo original. Quais as medidas do novo retângulo?

a) 5 e 5 metros

b) 7 e 10 metros

c) 2 e 5 metros

d) 12 e 14 metros

e) 1 e 2 metros

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Respostas

Resposta Questão 1

A área de um retângulo é dada pelo produto entre sua base e altura. Como possuímos medidas distintas de dois lados de um retângulo, podemos considerar que essas medidas são de sua base e altura. Logo:

(x + 3)(x – 2) = 60

x2 – 2x + 3x – 6 = 60

x2 + x – 6 = 60

x2 + x – 6 – 60 = 0

x2 + x – 66 = 0

Alternativa D

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Resposta Questão 2

Para determinar a quantidade de lados desse polígono, poderemos usar a fórmula do cálculo do número de diagonais a partir do número de lados. Observe:

D = n(n – 3)
        2

170 = n(n – 3)
           2

2·170 = n(n – 3)

340 = n2 – 3n

n2 – 3n – 340 = 0

A solução desse problema pode ser feita por meio da fórmula de Bháskara:

Δ = b2 – 4·a·c

Δ = (– 3)2 – 4·1·(– 340)

Δ = 9 + 1360

Δ = 1369

n = – b ± √Δ
       2a

n = – (– 3) ± √1369
        2

n = 3 ± 37
     2

n = 3 + 37 = 40 = 20
 2         2

Não é necessário calcular a outra raiz, pois ela é negativa e não pode haver polígono com número negativo de lados. Sendo assim, o polígono com 170 diagonais possui 20 lados.

Alternativa C

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Resposta Questão 3

A área do retângulo é dada pelo produto da base pela altura. Supondo que a altura desse retângulo mede x, sua base medirá 2x. Assim, teremos:

2x·x = 72

2x2 = 72

x2 = 72
        2

x2 = 36

x = ± √36

x = 6 ou – 6

O valor negativo não importa, pois não pode existir retângulo com um lado medindo – 6 metros. A medida encontrada foi do menor lado do retângulo, entretanto, o exercício pede o maior. Sabendo que o maior lado é o dobro do menor, teremos:

2·6 = 12 metros

Alternativa A

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Resposta Questão 4

A área do retângulo inicial é:

2·5 = 10 m2

A área do novo retângulo é:

(2 + x)(5 + x) = 7·10

10 + 2x + 5x + x2 = 70

x2 + 7x + 10 – 70 = 0

x2 + 7x – 60 = 0

Δ= b2 – 4·a·c

Δ = (– 7)2 – 4·1·(– 60)

Δ = 49 + 240

Δ = 289

x = – b ± √Δ
         2a

x = – (7) ± √289
        2

x = – 7 ± 17
         2

x = – 7 + 17 = 10 = 5
      2         2

O outro valor de x ficará negativo. Como não pode existir retângulo com lado negativo, então será inútil encontrá-lo.

As medidas do retângulo são: 2 + x = 2 + 5 = 7 metros; 5 + x = 5 + 5 = 10 metros.

Alternativa B

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