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Exercícios sobre curiosidades a respeito dos números

Respondendo a estes exercícios, é possível avaliar o que você sabe a respeito de algumas curiosidades sobre os números.

Questão 1

Números triangulares são aqueles cujas quantidades podem ser organizadas na forma de triângulo equilátero. Os quatro primeiros números triangulares são: 1, 3, 6 e 10, mas essa sequência é infinita. Sabendo disso, qual é o trigésimo número triangular?

a) 465

b) 500

c) 309

d) 350

e) 126

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Questão 2

Encontre o resultado de 262 usando a forma pitagórica de encontrar quadrados perfeitos.

a) 579

b) 676

c) 879

d) 878

e) 979

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Questão 3

Existe uma forma de calcular potências com expoente 2 de números naturais chamada de “forma pitagórica”. Por meio dela, basta somar n números ímpares a partir de 1, de modo que n seja igual à base da potência de expoente 2. Tendo isso em mente, assinale a alternativa verdadeira:

a) A potência 52 pode ser calculada fazendo 3 + 5 + 7 + 9 + 11.

b) Pode-se usar progressões geométricas para fazer os cálculos de quadrados perfeitos, uma vez que a forma pitagórica gera progressões de razão 2.

c) Pode-se usar a soma dos termos finitos de uma progressão aritmética para encontrar qualquer potência de expoente 2.

d) A forma pitagórica não é válida para todo quadrado perfeito.

e) A forma pitagórica somente é válida para números de 1 ou 2 algarismos.

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Questão 4

Quadrados perfeitos são números que podem ser obtidos de uma potência de expoente 2, em que a base é um número inteiro e positivo. A respeito dos quadrados perfeitos, assinale a alternativa correta:

a) Todo quadrado perfeito goza da propriedade a seguir: se √144 = 12, então 212 = 441.

b) Todo quadrado perfeito pode ser encontrado a partir do seu anterior x fazendo: (x + 1)2 = x2 + 2x + 1.

c) A forma pitagórica de calcular n2 pode ser feita somando os n primeiros números pares.

d) Não é possível encontrar quadrados perfeitos, a não ser calculando potências e raízes.

e) A forma pitagórica depende apenas de potências e raízes, o que torna impossível relacionar outros conteúdos da matemática a ela.

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Respostas

Resposta Questão 1

A fórmula do termo geral dos números triangulares é:

Tn = n(n + 1)
            2   

Substituindo n por 30, podemos encontrar o trigésimo termo da sequência formada por números triangulares.

T30 = 30(30 + 1)
                2      

T30 = 30(31)
            2   

T30 = 15·31

T30 = 465

Alternativa A

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Resposta Questão 2

Em primeiro lugar, precisamos encontrar o último número da sequência que possui 26 termos e é formada pelos números ímpares a partir de 1. Para tanto, usaremos:

an = a1 + (n – 1)r

a26 = 1 + (26 – 1)2

a26 = 1 + (25)2

a26 = 1 + 50

a26 = 51

Agora, basta calcular a soma dos termos da PA formada pelos 26 números ímpares iniciais:

262 = n(a1 + an)
              2     

262 = 26(1 + 51)
               2    

262 = 26·52
           2 

262 = 13·52

262 = 676

Alternativa B

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Resposta Questão 3

a) Incorreta!

A igualdade correta é: 52 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9

b) Incorreta!

Pode-se usar progressões aritméticas, não progressões geométricas.

c) Correta!

d) Incorreta!

A forma pitagórica é válida para todo quadrado perfeito.

e) Incorreta!

A forma pitagórica é válida para todo quadrado perfeito.

Alternativa C

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Resposta Questão 4

a) Incorreta!

A propriedade não é válida para todo quadrado perfeito.

b) Correta!

c) Incorreta!

A forma pitagórica de encontrar n2 é somando os n primeiros números ímpares.

d) Incorreta!

Por exemplo, existe a forma pitagórica de encontrar quadrados perfeitos que não envolve potências nem raízes.

e) Incorreta!

A forma pitagórica não depende de potências e raízes.

Alternativa B

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