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Exercícios sobre o cubo da soma

Ao resolvermos exercícios sobre o cubo da soma utilizamos uma regra prática dos produtos notáveis: (a + b)3 = a3 +3a2b + 3ab2 + b3.

Questão 1

Resolva a expressão (c + d )3 + (c3 + d3) – 4cd . (c + d).

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Questão 2

(FUVEST)

A diferença entre o cubo da soma de dois números inteiros e a soma de seus cubos pode ser:

a) 4

b) 5

c) 6

d) 7

e) 8

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Questão 3

Aplicando o cubo da soma, desenvolva as expressões abaixo:

a) (3a + 1)3

b) (x + 2y)3

c) (2z + 3w)6

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Questão 4

Escreva a expressão que representa “o cubo da soma de dois números mais 20 unidades” e a desenvolva.

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Respostas

Resposta Questão 1

Nessa questão, o primeiro parêntese é o cubo da soma de dois termos.

(c + d )3 + (c3 + d3) – 4cd.(c + d) =

= c3 + 3c2d + 3cd2 + d3 + c3 + d3 – 4c2d – 4cd2 =

= 2c3 + 2d3 – 1c2d – 1cd2 =

= 2c3 – 1c2d + 2d3– 1cd2 =

= c2 . (2c – d) + d2 . (2d – c)

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Resposta Questão 2

Para solucionar essa questão devemos interpretar o seu enunciado, faremos isso separando as partes descritas.

Cubo da soma de dois números inteiros → (a + b)3
O cubo é dado pelo número 3, já os dois números inteiros são a e b.

Soma de seus cubos → (a3 + b3)
Dizer “a soma de seus cubos” significa que os termos a e b estarão elevamos ao cubo.

Como já sabemos o que significa as partes do enunciado, devemos escrever a expressão algébrica geral, que será dada pela diferença entre (a + b)3 - (a3 + b3).

Vamos resolver o primeiro parêntese:

Cubo da soma

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Agora devemos reunir a solução obtida com a subtração do segundo parêntese.

(a + b)3 - (a3 + b3) =

= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 - (a3 + b3) =

= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 - a3 - b3 =

= + 3a2b + 3ab2

Supondo que a e b sejam iguais a 1, então a soma será:

+ 3a2b + 3ab2 = 3 . 12 . 1 + 3 . 1 . 12 = 3 + 3 = 6

A alternativa certa é a letra c.

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Resposta Questão 3

a) (3a + 1)3 =
= (3a)3 + 3. (3a)2 . 1 + 3 . 3a . (1)2 + (1)3 =
= 27a3 + 27a2 + 9a + 1

b) (x + 2y)3 =
= (x)3 + 3 . (x)2 . 2Y + 3 . x . (2y)2 + (2y)3 =
= x3 + 6x2y + 12xy2 + 8y3

c) (2z + 3w)6 =
= (2z + 3w)3 . (2z + 3w)3 =
= (2z)3 + 3 . (2z)2 . 3W + 3 . 2z . (3w)2 + (3w)3 +[(2z)3 + 3 . (2z)2 . 3W + 3 . 2z . (3w)2 + (3w)3] =
= 8z3 + 36z2w + 54zw2 + 27w3 + 8z3 + 36z2w + 54zw2 + 27w3 =
= 16z3 + 72z2w + 108zw2 + 54w3

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Resposta Questão 4

Nesse exercício teremos que interpretar o seu enunciado.

Dois números = a, b

Cubo da soma de dois números = (a + b)3

Cubo da soma de dois números mais 20 unidades = (a + b)3 + 20

(a + b)3 + 20=

= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 + 20

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