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Exercícios sobre conjuntos numéricos

Normalmente, exercícios sobre conjuntos numéricos podem ser resolvidos por meio do agrupamento de termos semelhantes.

Questão 1

(UFPA) Um professor de Matemática, ao lecionar Teoria dos Conjuntos em uma certa turma, realizou uma pesquisa sobre as preferências clubísticas de seus n alunos, tendo chegado ao seguinte resultado:

• 23 alunos torcem pelo Paysandu Sport Club;
• 23 alunos torcem pelo Clube do Remo;
• 15 alunos torcem pelo Clube de Regatas Vasco da Gama;
• 6 alunos torcem pelo Paysandu e pelo Vasco;
• 5 alunos torcem pelo Vasco e pelo Remo. 

Se designarmos por A o conjunto dos torcedores do Paysandu, por B o conjunto dos torcedores do Remo e por C o conjunto dos torcedores do Vasco, todos da referida turma, teremos, evidentemente, A ∩ B = Ø. Concluímos que o número n de alunos dessa turma é

a) 49.

b) 50.

c) 47.

d) 45.

d) 46.

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Questão 2

(UFMG) Uma escola realizou uma pesquisa sobre os hábitos alimentares de seus alunos. Alguns resultados dessa pesquisa foram:

• 82% do total de entrevistados gostam de chocolate;
• 78% do total de entrevistados gostam de pizza; e
• 75% do total de entrevistados gostam de batata frita.

Então, é CORRETO afirmar que, no total de alunos entrevistados, a porcentagem dos que gostam, ao mesmo tempo, de chocolate, de pizza e de batata frita é, pelo menos, de:

a) 25%.

b) 30%.

c) 35%.

d) 40%.

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Questão 3

Dados os conjuntos A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5}, B = { 4, 5, 6, 7 } e C = { 4, 5, 6, 8}, descubra o resultado de: (A - C) ∩ (B - C)

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Questão 4

Dados os conjuntos C = {15,25,30,35} e D = {15, 25,40,50}, obtenha o n (AB):

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Respostas

Resposta Questão 1

Para resolver essa questão, devemos desenhar os diagramas de todos os conjuntos descritos no enunciado, destacando a sua intersecção.

 

Efetuando a adição, temos que: 17 + 18 + 5 + 6 + 4 = 50

O número n de alunos dessa turma é 50. A resposta dessa questão é a alternativa “b”.

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Resposta Questão 2

Inicialmente devemos nomear as incógnitas da equação da questão:

x = pessoas que gostam de pizza.

y = pessoas que gostam de chocolate.

z = pessoas que gostam de batata frita.

w = pessoas que gostam de chocolate e batata frita.

s = pessoas que gostam de batata frita e pizza.
v = pessoas que gostam de chocolate e pizza.

d = pessoas que gostam ao mesmo tempo de chocolate, pizza e batata frita.

Agora que já sabemos quais são as incógnitas, vamos escrever as equações:

Gostam de chocolate: Selecionaremos todas as variáveis que possuem chocolate:

y + w + v + d = 82%

Gostam de pizza: Selecionaremos todas as variáveis que possuem pizza:

x + s + v + d = 78%

Gostam de batata frita: Selecionaremos todas as variáveis que possuem batata frita:

z + d + s + w = 75%

Agora vamos realizar a soma das equações das pessoas que gostam de chocolate com as pessoas que gostam de pizza:

y + w + v + d + x + s + v + d = 82% + 78%

y + w + v + d + x + s + ( v + d ) = 160% → Veja que y + w + v + d + x + s = 100% de pessoas.

100% + v + d = 160%

v + d = 160% - 100%

v + d = 60%

Some as equações gerais com a equação referente às pessoas que gostam de batata frita (v + d = 60%):

z + d + s + w + v + d = 75% + 60%

z + d + s + w + v + (d) = 135% → Observe que z + d + s + w + v = 100%.

100% + d = 135.

Obtemos, então, o sistema:

v + d = 60% → Primeira equação

100% + d = 135% → Segunda equação

Resolvendo a segunda equação, obtemos:

100% + d = 135%

d = 35% → Pessoas que gostam ao mesmo tempo de chocolate, batata frita e pizza.

Substituindo o valor de d na primeira equação, temos:

v + d = 60%

v + 35% = 60%

v = 25% → Pessoas que gostam de chocolate e pizza.

A resposta correta para essa questão é a alternativa “c”.

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Resposta Questão 3

A – C = {0, 1, 2, 3} → Esse é o conjunto de todos os elementos de A que não pertencem a B;

B – C = {7} → Esse é o conjunto de todos os elementos que pertencem a B e não pertencem a C;

Logo, a intersecção entre (A - C) ∩ (B – C) é vazia, visto que nenhum número se repete nesses dois conjuntos.

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Resposta Questão 4

n (C D) → Significa a união dos elementos do conjunto C e D.

C D = { 15,25,30, 35, 40, 50} → A união é dada pela representação de todos os termos numéricos sem repetição em um mesmo conjunto.

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