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Exercícios sobre completar quadrados

Estes exercícios testarão seus conhecimentos sobre o método de completar quadrados para resolução de equações do segundo grau.

Questão 1

Quais são as raízes da função f(x) = x2 + 6x – 16?

a) S = {2, –8}

b) S = {8, –2}

c) S = {}

d) S = {2, 2}

e) S = {– 8, –8}

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Questão 2

Um empreendimento tem rendimentos dados pela função f(x) = x2 + 10x – 24, com x > 0 e x sendo o valor investido em milhões de reais. Que valor deve ser investido para que não haja rendimentos nem prejuízos?

a) 1 milhão

b) 2 milhões

c) 3 milhões

d) 4 milhões

e) 5 milhões

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Questão 3

(UNCISAL/2015)

Funções polinomiais: uma visão analítica

Uma das principais razões pelas quais estamos interessados em estudar o gráfico de uma função real é determinar o número e a localização (pelo menos aproximada) de seus zeros. (Recorde que zero de uma função f é uma raiz da equação f(x) = 0). O problema de calcular as raízes de uma equação sempre foi objeto de estudo da Matemática ao longo dos séculos. Já era conhecida, na antiga Babilônia, a fórmula para o cálculo das raízes exatas de uma equação geral do segundo grau. No século XVI, matemáticos italianos descobriram fórmulas para o cálculo de soluções exatas de equações polinomiais do terceiro e do quarto grau. Essas fórmulas são muito complicadas e, por isso, são raramente usadas nos dias de hoje. Perguntas do tipo:

  • Qual é o maior número de zeros que uma função polinomial pode ter?
  • Qual é o menor número de zeros que uma função polinomial pode ter?
  • Como podemos encontrar todos os zeros de um polinômio, isto é, como podemos encontrar todas as raízes de uma equação polinomial? ocuparam as mentes dos matemáticos até o início do século XIX, quando este problema foi completamente resolvido. [...]

Disponível em:
<http://www.im.ufrj.br/dmm/projeto/projetoc/precalculo/
sala/conteudo/capitulos/cap111s4.html>.
Acesso em: 24 out. 2014 (adaptado).

Levando em conta que x = 1 é um dos zeros da função f(x) = x3 – 6x2 + 11x – 6, qual o valor da soma dos outros zeros?

a) –6

b) –5

c) 0

d) 5

e) 6

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Questão 4

(IFSC/2013)

O conjunto solução de toda equação do segundo grau da forma ax2+bx+c=0 pode ser determinado por:

Δ = b2 – 4ac

x = – b ± √Δ
      2a

É CORRETO afirmar que o conjunto solução da equação seguinte é:

  x2 = – x   + 2
 3        3       

a) S= { }

b) S= {1,2}

c) S= {2,4}

d) S= {2,3}

e) S = {2, –3}

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Respostas

Resposta Questão 1

Lembre-se de que raízes são os valores de x quando f(x) = 0. Utilizando o método de completar quadrados, teremos:

0 = x2 + 6x – 16

x2 + 6x – 16 = 0

x2 + 2·3x = 0 + 16

x2 + 2·3x + 9 = 16 + 9

(x + 3)2 = 25

√[(x + 3)2] = √25

x + 3 = ± 5

x = ± 5 – 3

x' = – 5 – 3 = – 8

x'' = 5 – 3 = 2

Gabarito: Letra A.

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Resposta Questão 2

Um investimento que não gera lucros nem prejuízos deve ter rentabilidade igual a zero, ou seja, procuramos pelas raízes da função f(x). Utilizaremos para isso o método completar quadrados:

f(x) = x2 + 10x – 24 = 0

x2 + 10x – 24 = 0

x2 + 10x = 0 + 24

x2 + 2·5x = 24

x2 + 2·5x + 25 = 24 + 25

(x + 5)2 = 49

√[(x + 5)2] = √49

x + 5 = ± 7

x = ± 7 – 5

x' = – 7 – 5 = – 12

x'' = 7 – 5 = 2

Como estamos interessados apenas em x > 0, então, com um investimento de 2 milhões, não haverá lucro nem prejuízo.

Gabarito: Letra B.

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Resposta Questão 3

Os zeros ou raízes de uma função são os valores que a tornam igual a zero, isto é, são os valores de x para os quais f(x) = 0. Portanto, só precisamos calcular os valores de x tais que:

0 = x3 – 6x2 + 11x – 6

Sabendo que x = 1 é raiz de f(x), podemos escrever:

f(x) = g(x)(x – 1)

*g(x) é uma função do segundo grau que, multiplicada por x – 1, é igual a f(x). Note que essa última expressão é verdadeira, pois, quando x = 1, temos:

f(x) = g(x)(x – 1)

f(x) = g(x)(1 – 1)

f(x) = g(x)(0)

f(x) = 0

Para encontrar g(x), basta realizar a divisão de f(x) por x – 1, pois:

f(x) = g(x)(x – 1)

f(x) = g(x)
x – 1        

Segue a divisão de polinômios:

x3 – 6x2 + 11x – 6 | x – 1      
– x3 – 6x2                     x2 – 5x +6  
– 5x2 + 11x                 
5x2 – 5x               
6x – 6
– 6x + 6   
0

Logo, g(x) = x2 – 5x +6. As outras duas raízes de f(x) são as raízes de g(x). Para encontrá-las, usaremos o método de completar quadrados. Para realizá-lo, basta somar uma parcela à equação do segundo grau que a transforme em quadrado perfeito e, depois, fatorá-la por meio de produtos notáveis. Confira:

x2 – 5x + 6 = 0

x2 – 5x = 0 – 6

x2 – 2·2,5x = 0 – 6

x2 – 2·2,5x + 6,25 = 0 – 6 + 6,25

(x – 2,5)2 = 0,25

√[(x – 2,5)2] = √0,25

x – 2,5 = ± 0,5

x = ± 0,5 + 2,5

x' = 0,5 + 2,5 = 3

x'' = – 0,5 + 2,5 = 2

Portanto, a soma das raízes é:

x' + x'' = 2 + 3 = 5

Gabarito: Letra D.

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Resposta Questão 4

Multiplique toda a equação por 3 e mova todos os termos para um único lado da equação:

  x2 = – x   + 2
3       3      

3·x2 = 3·(– x) + 3·2
3         3          

x2 = – x + 6

x2 + x – 6 = 0

Agora utilize o método de completar quadrados para resolvê-la:

x2 + x – 6 = 0

x2 + 2·0,5x = 0 + 6

x2 + 2·0,5x + 0,25 = 0 + 6 + 0,25

(x + 0,5)2 = 6,25

√[(x + 0,5)2] = √6,25

x + 0,5 = ± 2,5

x = ± 2,5 – 0,5

x' = 2,5 – 0,5 = 2

x'' = – 2,5 – 0,5 = – 3

S = {2, – 3}

Gabarito: Letra E.

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