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Exercícios sobre área do triângulo

Estes exercícios testarão seus conhecimentos sobre uma técnica criada sob a perspectiva da Geometria Analítica para o cálculo de área do triângulo.

Questão 1

Calcule a área do triângulo abaixo, em cm3, utilizando a Geometria Analítica.

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Questão 2

Calcule a área do triângulo de vértices A (2,4), B (3,8) e C (– 2, 5).

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Questão 3

Dados os pontos A (1,1) e B (10,10), qual deve ser a coordenada y do ponto C (10, y) para que a área do triângulo que tem A, B e C como vértices seja igual a 45?

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Questão 4

Calcule a coordenada x do ponto A = (x,1) e do ponto B (x,2) sabendo que as coordenadas do ponto C são (4,2), que eles não são colineares e que a área do triângulo formado por eles é igual a 3.

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Respostas

Resposta Questão 1

A área de triângulos pode ser calculada pela fórmula b·h. Contudo, como o exercício propõe que seja utilizada a geometria analítica, a solução será feita da seguinte maneira:

A fórmula para o cálculo da área do triângulo pela geometria analítica é:

A = |D|
      2

D é o determinante da matriz 3x3 formada a partir das coordenadas dos pontos A, B e C, isto é:

D = |xa   ya   1|
      |xb   yb   1|
      |xc    yc   1|

Portanto,

D = |0   0   1|
      |4   0   1|
      |2   3   1|

D = 12

Logo,

A = |D|
       2

A = |12|
       2

A = 12
      2

A = 6 cm3

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Resposta Questão 2

A fórmula para o cálculo da área do triângulo é:

A = |D|
      2

D é o determinante da matriz 3x3 formada a partir das coordenadas dos pontos A, B e C, isto é:

D = |xa   ya   1|
      |xb   yb   1|
      |xc    yc   1|

Substituindo os valores dos respectivos pontos, teremos:

D = 17

Portanto, a área do triângulo é:

A = |D|
      2

A = |17|
      2

A = 17
      2

A = 8,5 cm2

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Resposta Questão 3

Observe que o determinante da matriz formada pelas coordenadas de A, B e C depende do valor de y:

D = –90 + 9y

Utilizando a fórmula da área, teremos:

A = |D|
      2

A = |–90 + 9y|
      2

45 = |–90 + 9y|
          2

90 = |–90 + 9y|

Se –90 + 9y > 0

90 = –90 + 9y

90 + 90 = 9y

180 = 9y

y = 180
     9

y = 20

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Resposta Questão 4

Três pontos não colineares formam um triângulo. Portanto, é possível utilizar a fórmula para o cálculo de área de um triângulo pela Geometria Analítica para descobrir o valor da coordenada x.

D = |xa   ya   1|
      |xb   yb   1|
     |xc    yc   1|

D = – 4 + x

Substituindo na fórmula, teremos:

A = |D|
      2

3 = |– 4 + x|
      2

6 = |– 4 + x|

Sempre que – 4 + x > 0, temos:

6 = – 4 + x

x = 6 + 4

x = 10

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