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Exercícios as transformações trigonométricas

Com estes exercícios, você pode avaliar seus conhecimentos sobre as transformações trigonométricas, um conteúdo básico indispensável em vestibulares, Enem e concursos.

Questão 1

Por meio de transformações trigonométricas, é possível determinar o valor de ângulos resultantes da soma ou da subtração entre os ângulos notáveis. A partir dessa informação, qual é o sen2985°?

a) √8
     4

b) √3 + √2

c) 4√6

d) √2 + √6
        4

e) √6

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Questão 2

Qual é o valor de A, sabendo que A = (cosx – cosy)2 + (senx + seny)2 e que x e y são complementares?

a) A = 2

b) A = 3

c) A = 4

d) A = 5

e) A = 6

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Questão 3

Utilizando as transformações trigonométricas, qual dos valores a seguir é o resultado de sen75°?

a) √6
     4

d) √2 + √6
         4

c) √3

d) √6 + √2

e) √8
     4

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Questão 4

(Fuvest-SP) O valor de (sen22°30’ + cos22°30’)2 é:

a) 
    2

b) 2 + √3
       2

c) 2 + √2
       2

d) 1

e) 12

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Respostas

Resposta Questão 1

Ângulos maiores de 360° têm o mesmo seno que seus arcos côngruos menores de 360°. Para encontrar o ângulo menor do que 360° que tem o mesmo seno que 2985°, basta dividir esse ângulo por 360°. Assim, encontraremos o seguinte resultado:

2985° = 8·360° + 105°

Então, o ângulo de 2985° é igual ao ângulo de 105°, mais oito voltas sobre o ciclo trigonométrico. Portanto, sen2985° = sen105°. Sabendo que 105 = 60 + 45, podemos usar a fórmula de adição de arcos de seno para encontrar esse resultado:

sen2985° = sen105° = sen(60° + 45°)

sen(60° + 45°) = sen60°cos45° + sen45°cos60°

sen(60° + 45°) = 3·√2 + √2·
                           2    2     2   2 

sen(60° + 45°) = √(3·2) + √2
                            4        4

sen(60° + 45°) = √6 + √2
                         4      4

sen(60° + 45°) = √6 + √2
                          4

Alternativa D

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Resposta Questão 2

Usando produtos notáveis e reorganizando os termos, teremos:

A = cos2x – 2cosx·cosy + cos2y + sen2x + 2senx·seny + sen2y

A = sen2x + cos2x – 2cosx·cosy + 2senx·seny + sen2y + cos2y

Usando a identidade sen2x + cos2y = 1, teremos:

A = 1 – 2cosx·cosy + 2senx·seny + 1

A = 2 – 2cosx·cosy + 2senx·seny

A = 2 – 2(cosx·cosy – senx·seny)

Usando a transformação trigonométrica cos(a + b), teremos:

A = 2 – 2(cosx·cosy – senx·seny)

A = 2 – 2cos(x + y)

Como x + y = 90°, pois x e y são complementares, teremos:

A = 2 – 2cos90°

A = 2 – 2·0

A = 2

Alternativa A

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Resposta Questão 3

Sabendo que 75 = 30 + 45, teremos:

Sen75° = sen(30° + 45°)

sen(30° + 45°) = sen30°cos45° + sen45°cos30°

sen(30° + 45°) = 1 ·2 + 2·3
                         2   2     2    2

sen(30° + 45°) = 2 + (2·3)
                       4        4

sen(30° + 45°) = 2 + 6
                         4

 Alternativa B

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Resposta Questão 4

Primeiramente, use produtos notáveis para expandir a potência e simplifique ao máximo o resultado:

(sen22°30’ + cos22°30’)2

sen222°30’ + 2sen22°30’cos22°30’ + cos222°30’

Observe que sen222°30’ + cos222°30’ = 1, logo:

sen222°30’ + 2sen22°30’cos22°30’ + cos222°30’

2sen22°30’cos22°30’ + 1

Note também que 2sen22°30’cos22°30’ = sen(2·22°30’). Logo:

2sen22°30’cos22°30’ + 1

sen(2·22°30’) + 1

sen45° + 1

√2 + 1
2      

√2 + 2
  2

Alternativa C

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