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Exercícios sobre teorema fundamental da semelhança

Estes exercícios sobre teorema fundamental da semelhança testarão seus conhecimentos sobre o Teorema de Tales aplicado a um triângulo qualquer.

  • Questão 1

    Sabendo que DE é paralelo a AC, determine o valor de x.

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  • Questão 2

    Determine o valor de x e de y na figura abaixo sabendo que o segmento DE é paralelo à base do triângulo.

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  • Questão 3

    (UNIMONTES MG/2015) Na figura abaixo, AD = 1, AB = a , AE = b e os segmentos DE e BC são paralelos. Com base nessas informações, é CORRETO afirmar que AC vale:

    a) a
        b

    b) b
        a

    c) a + b

    d) ab

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  • Questão 4

    (UEA AM/2014) Potencialmente, os portos da região Norte podem ser os canais de escoamento para toda a produção de grãos que ocorre acima do paralelo 16 Sul, onde estão situados gigantes do agronegócio. Investimentos em logística e a construção de novos terminais portuários privados irão aumentar consideravelmente o número de toneladas de grãos embarcados anualmente.

    Suponha que dois navios tenham partido ao mesmo tempo de um mesmo porto A, em direções perpendiculares e a velocidades constantes. Sabe-se que a velocidade do navio B é de 18 km/h e que, com 30 minutos de viagem, a distância que o separa do navio C é de 15 km, conforme mostra a figura:

    Teorema fundamental da semelhança no movimento perpendicular entre navios

    Desse modo, pode-se afirmar que, com uma hora de viagem, a distância, em km, entre os dois navios e a velocidade desenvolvida pelo navio C, em km/h, serão, respectivamente,

    a) 30 e 25.

    b) 25 e 22.

    c) 30 e 24.

    d) 25 e 20.

    e) 25 e 24.

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Respostas

  • Resposta Questão 1

    Utilizando o teorema fundamental da semelhança, teremos:

    2 + 2 = 2 + x
    2          2

    Realizando a multiplicação cruzada, teremos:

    2·4 = 2·(2 + x)

    Calculando o lado esquerdo e utilizando a propriedade distributiva da multiplicação (chuveirinho) no lado direito da equação, teremos:

    8 = 4 + 2x

    Reorganizando os termos dessa equação e multiplicando-a por (-1), obteremos:

    2x = 8 – 4

    2x = 4

    x = 4
          2

    x = 2

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  • Resposta Questão 2

    Utilizando o teorema de Tales, podemos escrever:

    2  x  
    2    2,24

    Realizando a multiplicação cruzada, obteremos:

    2,24·2 = 2·x

    Pela lei do corte, teremos:

    x = 2,24

    Utilizando o teorema fundamental da semelhança, teremos:

       2  
    2 + 2    y 

    Após a multiplicação cruzada e realização dos cálculos resultantes, obteremos:

    2y = 4

    y = 4
          2

    y = 2

    Logo, os valores de x e y são 2,24 e 2, respectivamente.

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  • Resposta Questão 3

    Utilizando o teorema fundamental da semelhança, teremos:

    AD = AE
    AB    AC

    Substituindo os valores dos segmentos, obteremos:

    1 =   b  
    a    AC 

    Utilizando multiplicação cruzada, o resultado será:

    AC = ab

    Letra D.

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  • Resposta Questão 4

    A velocidade do navio B é de 18 km/h e, em meia hora, ele se deslocou a metade de 18 km.

    Portanto, na primeira meia hora, o navio B estava 9 km distante do porto A. Dessa maneira, y = 9.

    Com uma hora de viagem, a distância do navio B até o porto é de 18 km, já que sua velocidade é 18 km/h.

    Sejam B' e C' os pontos onde os navios B e C, respectivamente, encontravam-se na primeira meia

    hora de viagem. Utilizando o teorema fundamental da semelhança, podemos escrever:

    AB' = B'C'
    AB     BC

    Substituindo os valores dos segmentos:

     9 = 15
    18   BC

    A multiplicação cruzada garante o seguinte resultado:

    9BC = 18·15

    BC = 270
            9

    BC = 30

    BC é a distância entre os navios B e C. Como os navios movem-se em direções perpendiculares, a velocidade do Navio C pode ser calculada pelo teorema de Pitágoras. Note que a velocidade média de um objeto em movimento é dada pela distância percorrida pelo objeto (ou que seria percorrida) em uma hora. Portanto, pelo teorema de Pitágoras:

    BC2 = AB2 + AC2

    302 = 182 + AC2

    900 = 324 + AC2

    900 – 324 = AC2

    576 = AC2

    AC = √576

    AC = 24

    Portanto, o Navio C moveu-se 24 km em uma hora, logo, sua velocidade média é de 24 km/h.

    Letra C.

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