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Exercícios sobre Relações Trigonométricas Fundamentais

Estes exercícios sobre relações trigonométricas fundamentam-se no uso de seno e cosseno e das relações decorrentes destas.

  • Questão 1

    (Vunesp) A expressão , com sen θ ≠ 1, é igual a:

    a) sen θ

    b) sen θ + 1

    c) tg θ . cos θ

    d) 1

    e) sen θ
        sec θ

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  • Questão 2

    (PUC – SP) Se cos 2x = 0,2, então tg² x é igual a:

    a) 1/2

    b) 2/3

    c) 3/4

    d) 4/3

    e) 2

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  • Questão 3

    Determine o valor de A = , sabendo que sen x = 4/5 e que x pertence ao 1° quadrante.

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  • Questão 4

    Determine os valores de tg x, cotg x, sec x e cossec x, sabendo que cos x = 4/5 e que o ângulo x encontra-se no 1° quadrante.

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Respostas

  • Resposta Questão 1

    Para resolver essa questão, precisamos nos lembrar da relação fundamental da trigonometria que garante que:

    sen² θ + cos² θ = 1
    cos² θ = 1 – sen² θ

    A partir disso, vamos substituir o valor encontrado para cos² θ na expressão :

    cos² θ = 1 – sen² θ
    1 – sen θ  1 – sen θ   

    Você deve concordar que podemos expressar 1 – sen² θ como 1² – sen θ. Essa pequena mudança ajuda a visualizar a presença do produto notável conhecido como “produto da soma pela diferença”. De acordo com esse produto notável, podemos afirmar que:

    1² – sen θ = (1 – sen θ).(1 + sen θ)

    Substituindo essa igualdade na expressão que estamos trabalhando, teremos:

    cos² θ = 1 – sen² θ = (1 – sen θ).(1 + sen θ)
     1 – sen θ   1 – sen θ              1 – sen θ                

    Dividindo o numerador e o denominador da expressão por (1 – sen θ), restará:

    cos² θ = 1 + sen θ
    1 – sen θ                   

    Portanto, a alternativa correta é a letra b.

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  • Resposta Questão 2

    Partindo da ideia do arco duplo, podemos reescrever cos 2x como cos² x – sen² x. Sendo assim, temos:

    cos 2x = 0,2
    cos² x – sen² x = 0,2
    cos² x = 0,2 + sen² x

    Mas pela relação fundamental da trigonometria, temos que sen² x + cos² x = 1. Substituindo o valor anteriormente encontrado para cos² x nessa equação, teremos:

    sen² x + cos² x = 1
    sen² x + (0,2 + sen² x) = 1
    2.sen² x = 1 – 0,2
    2.sen² x = 0,8
    sen² x = 0,8
                   2
    sen² x = 0,4

    No momento, não é interessante extrair a raiz de sen² x. Vamos agora substituir o valor encontrado na equação trigonométrica cos² x = 0,2 + sen² x:

    cos² x = 0,2 + sen² x
    cos² x = 0,2 + 0,4
    cos² x = 0,6

    Como já identificamos os valores de sen² x e de cos² x, vamos determinar o valor de tg² x:

    tg² x = sen² x
                cos² x
    tg² x = 0,4
                0,6
    tg² x = 4
               6
    tg² x = 2
               3

    Portanto, a alternativa correta é a letra b

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  • Resposta Questão 3

    Como já temos o valor de sen x, vamos utilizar a relação fundamental da trigonometria para determinar o valor de cos x:

    sen² x + cos² x = 1
    + cos² x = 1
    5²                     
    cos² x = 1 – 16
                        25
    cos² x = 9
                  25
    cos x = ± √9
                    √25
    cos x = 3
                 5

    Observe que, nesse caso, o resultado negativo da raiz quadrada não é adequado, pois, como o ângulo x encontra-se no 1° quadrante, o valor de seu cosseno é positivo. Vamos agora desenvolver a expressão A:

    A = cos x + tg x
    cotg x . sec x

    A = 

    A = 

    A = cos² x + sen x . sen x
              cos x              1

    A = (cos² x).(sen x) + sen² x
    cos x

    Substituindo os valores de cos x e sen x na equação, teremos:

    A = (cos² x).(sen x) + sen² x
        cos x

    A = 

    A = 116 . 5
          125    3

    A = 116
           75

    Portanto, para sen x = 4/5, temos que A = 116/75.

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  • Resposta Questão 4

    Apesar de não ter sido solicitado o valor de sen x, precisamos identificá-lo para que possamos determinar os demais valores pedidos. Através da relação fundamental da trigonometria, temos:

    sen² x + cos² x = 1

    sen² x + = 1
             5²

    sen² x = 1 – 16
                        25

    sen² x = 9
                 25

    sen x = 3
                 5

    Vamos agora determinar o valor de tg x:

    tg x = sen x
              cos x

    tg x = 

    tg x = 3 . 5
               5   4

    tg x = 3
              4

    Como cotg x é a função inversa de tg x, basta fazer:

    cotg x = 1
                  tg x

    cotg x = 4
                   3

    Vamos determinar o valor de sec x:

    sec x = 1
                cos x

    sec x = 

    sec x = 1 . 5
                     4

    sec x = 5
                 4

    Por fim, resta determinar o valor de cossec x:

    cossec x = 1
                     sen x

    cossec x = 

    cossec x = 1 . 5
                            3

    cossec x = 5
                       3

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