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Exercícios sobre razões trigonométricas

Para a resolução destes exercícios sobre razões trigonométricas, devem ser empregadas as fórmulas de seno, cosseno e hipotenusa.

  • Questão 1

    Determine os valores de x, y, w e z em cada caso:

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  • Questão 2

    Em um triângulo retângulo, determine as medidas dos ângulos agudos e da hipotenusa, sabendo que um dos catetos mede 3 cm e o outro mede √3 cm.

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  • Questão 3

    (Cesgranrio) Uma rampa plana, de 36 m de comprimento, faz ângulo de 30° com o plano horizontal. Uma pessoa que sobe a rampa inteira eleva-se verticalmente de:

    a) 6√3 m.

    b) 12 m.

    c) 13,6 m.

    d) 9√3 m.

    e) 18 m.

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  • Questão 4

    (UFAM) Se um cateto e a hipotenusa de um triângulo retângulo medem 2a e 4a, respectivamente, então a tangente do ângulo oposto ao menor lado é:

    a) 2√3

    b) √3
         3

    c) √3
         6

    d) √20
         20

    e) 3√3

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Respostas

  • Resposta Questão 1

    a) Através do cosseno de 30°, temos:

    cos 30° = cat. adjacente a 30°
                    hipotenusa
    3 = 16
    2     x
    3 • x = 16 • 2
    x = 32
         √3

    x = 32•√3
         √3•√3

    x = 32•√3
         3

     

    Portanto, a hipotenusa mede  32•√3 unidades.
                                                   3

    b) Através do seno de y:

    sen y = cat. oposto a y
                hipotenusa
    sen y = 13
                26
    sen y = 1
                2

    O seno de y é ½. Podemos então concluir que y = 30°.

    c) Pelo seno de 60°:

    sen 60° = cat. oposto a 60°
                  hipotenusa
    3 = w
      2   18
    2 • w = 18√3
    w = 18√3
          2
    w = 9√3

    Concluímos que w = 9√3 unidades.

    d) Através do cosseno de 45°:

    cos 45° = cat. adjacente a 45°
                   hipotenusa
    2 = 20
    2     z
    2 • z = 20 • 2
    z = 40 . √2
          √2   √2
    x = 40√2
          2
    x = 20√2

    Portanto, a hipotenusa mede 20√2 unidades.

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  • Resposta Questão 2

    Como sabemos apenas as medidas dos catetos, vamos utilizar o Teorema de Pitágoras para determinar a medida da hipotenusa (h):

    (hipotenusa)² = (cateto)² + (cateto)² 
    h² = 3² + (√3)²
    h² = 9 + 3
    h = √12
    h = 2√3 cm

    Considere um ângulo α oposto ao lado de 3 cm. Calculando sua tangente, temos:

    tg α = cat. oposto a α
             cat. adjacente a α
    tg α = 3
             √3
    tg α = 3
             √3
    tg α = 3 . √3
            √3   √3
    tg α = 3√3
              3
    tg α = √3

    Se tg α = √3, logo α = 60°. Sabendo que a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é 180° e que esse é um triângulo retângulo, podemos determinar a medida de outro ângulo agudo β:

    β + α + 90° = 180°
    β + 60° + 90° = 180°
    β + 150° = 180°
    β = 180° – 150°
    β = 30°

    Portanto, os ângulos agudos desse triângulo valem 30° e 60°.

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  • Resposta Questão 3

    Podemos representar no triângulo ilustrado a seguir a situação descrita no problema. A hipotenusa representa a rampa percorrida pela pessoa citada:

    Representação geométrica da questão 3
    Representação geométrica da questão 3

    Na figura, a altura que a pessoa foi elevada está representada pelo lado vermelho (cateto oposto ao ângulo de 30°). Vamos chamar esse lado do triângulo de x para determinar seu valor. Para tanto, utilizaremos a fórmula do seno:

    sen 30° = cat. oposto
                   hipotenusa
    1 = x
    2   36
    2x = 36
    x = 36
          2
    x = 18 m

    Portanto, ao subir a rampa, a pessoa eleva-se verticalmente 18 m. Logo, a alternativa correta é a letra e.

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  • Resposta Questão 4

    Pelo enunciado do exercício, sabemos que a hipotenusa mede 4a e um dos catetos mede 2a, mas não sabemos de qual cateto se trata. Precisamos determinar a medida do segundo cateto. Chamando-o de c, pelo Teorema de Pitágoras, temos:

    (hipotenusa)² = (cateto)² + (cateto)²
    (4a)² = (2a)² + c²
    16a² = 4a² + c²
    c² = 16a² – 4a²
    c² = 12a²
    c = √12a²
    c = 2a√3

    Agora que conhecemos o terceiro lado da figura, podemos esboçar o triângulo com o qual estamos trabalhando:

    Representação geométrica da questão 4
    Representação geométrica da questão 4

    Vamos chamar de α o ângulo oposto a 2a, que é o menor cateto. Agora podemos determinar a tangente de α:

    tg α = cat. oposto a α
             cat. adjacente a α
    tg α = 2a
             2a√3
    tg α = 1
             √3
    tg α = 1 . √3
            √3  √3
    tg α = √3
              3

    Portanto, a alternativa que indica a resposta correta é a letra b.

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