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Exercícios sobre raízes de funções do segundo grau

Estes exercícios sobre raízes de funções do segundo grau testarão seus conhecimentos sobre métodos resolutivos de equações do segundo grau e funções.

  • Questão 1

    Dada a função y = 9x2 – 8x – 1, determine os valores para os quais y = 0.

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  • Questão 2

    O custo de um produto é dado pela função C(x) = x2 – 20x + 36, em que x é a quantidade de produtos produzidos. Qual é a quantidade de produtos que deveria ser produzida para que, conforme essa função, não houvesse custos?

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  • Questão 3

    (UNIRG TO/2015) Considere a família de funções do segundo grau, dos reais nos reais, definida como f(x) = x2 + 2x +c, onde c é um parâmetro livre, de modo que para qualquer valor de c escolhido temos uma função particular da família. Ao desenhar várias dessas funções utilizando um software, um aluno percebeu que os vértices dessas funções obedeciam a certo padrão. Assinale a única alternativa correta que corresponde ao padrão visualizado pelo aluno:

    a) Uma parábola.

    b) Uma reta.

    c) Uma semirreta.

    d) Uma hipérbole.

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  • Questão 4

    (UECE/2015) Um objeto é lançado verticalmente, para cima, de forma que a altura alcançada h, medida em metros, e o tempo decorrido após o lançamento t, medido em segundos, estão relacionados pela equação h – 120t + 5t2 = 0. Considerando h = 0 e t = 0 no instante do lançamento, então o tempo decorrido desde o lançamento até alcançar a altura máxima, e a altura máxima atingida são respectivamente

    a) 10 seg e 700 m.

    b) 12 seg e 720 m.

    c) 12 seg e 800 m.

    d) 10 seg e 820 m.

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Respostas

  • Resposta Questão 1

    Para encontrar os valores para os quais y = 0, devemos igualar a função a zero e obter suas raízes. Observe:

    y = 9x2 – 8x – 1

    0 = 9x2 – 8x – 1

    Δ = (–8)2 – 4·9·(–1)

    Δ = 64 + 36

    Δ = 100

    x = –(–8) ± 100
                 2·9      

    x = 8 ± 10
            18   

    x' = 8 + 10 = 18 = 1
             18       18      

    x” = 8 – 10 = –2 = –1
             18       18     9

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  • Resposta Questão 2

    Para que não haja custos com esse produto, é necessário que C(x) = 0. A quantidade de produtos produzidos deve ser dada pelas raízes dessa função:

    C(x) = x2 – 20x + 36

    0 = x2 – 20x + 36

    Δ = (–20)2 – 4·1·(36)

    Δ = 400 + 144

    Δ = 256

    x = –(–20) ± 256
           2·1

    x = 20 ± 16
          2

    x' = 20 + 16 = 36 = 18
      2          2

    x” = 20 – 16 = 4 = 2
           2         2  

    Caso fosse possível, a produção de 2 ou de 18 desses produtos resultaria em nenhum custo de produção.

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  • Resposta Questão 3

    f(x) é uma função cujo gráfico representa uma parábola. O coeficiente “c” está ligado à “altura” dessa parábola com relação ao eixo y. Desse modo, variando o valor do coeficiente c, o vértice A da parábola sempre estaria sobre uma reta vertical. Observe a imagem abaixo feita ao variar o valor de c na função f(x):

    Movimentação da função f(x) com variação do parâmetro c
    Movimentação da função f(x) com variação do parâmetro c

    Alternativa B.

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  • Resposta Questão 4

    Primeiro, encontraremos o segundo ponto em que h = 0.

    h = – 5t2 + 120t

    0 = – 5t2 + 120t

    0 = 5t(– t + 24)

    logo, t = 0 (condiz com as hipóteses do exercício) ou –t + 24 = 0. Essa última resulta em t = 24. Dessa forma, passam-se 24 segundos para que o objeto alcance o solo novamente. Como o objeto gastou a mesma quantidade de segundos para subir e para descer, então, em 12 segundos, atingiu sua altura máxima. Para encontrá-la, basta substituir t = 12 na função:

    h – 120·12 + 5·122 = 0

    h – 1440 + 720 = 0

    h – 720 = 0

    h = 720

    Portanto, a altura máxima é 720 metros e o tempo gasto para alcançá-la é 12 segundos.

    Alternativa B.

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