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Exercícios sobre Quadrado da Soma e Quadrado da Diferença

Utilizando conceitos de produtos notáveis e fatoração, é possível resolver exercícios sobre quadrado da soma e quadrado da diferença.

  • Questão 1

    Desenvolva os seguintes produtos notáveis:

    a) (x + y)2

    b) (2a + b)2

    c) (x – 5y)2

    d) (3 – a3)2

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  • Questão 2

    Sabe-se que x² + y² = 20 e xy = 3, qual é o valor de (x + y)²?

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  • Questão 3

    Escreva as expressões a seguir de forma reduzida:

    a) (3m + n)² + 2n²

    b) (2a + 2b)² – a.(a – 2b)

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  • Questão 4

    (Fuvest – SP - adaptado) Se , calcule .

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  • Questão 5

    (IBMEC-04) A diferença entre o quadrado da soma e o quadrado da diferença de dois números reais é igual:

    a) a diferença dos quadrados dos dois números.

    b) a soma dos quadrados dos dois números.

    c) a diferença dos dois números.

    d) ao dobro do produto dos números.

    e) ao quádruplo do produto dos números.

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  • Questão 6

    (Fuvest) A soma dos quadrados de dois números positivos é 4 e a soma dos inversos de seus quadrados é 1. Determine:

    a) o produto dos dois números

    b) a soma dos dois números

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Respostas

  • Resposta Questão 1

    Podemos resolver esses produtos notáveis através da seguinte ideia:

    O primeiro termo elevado ao quadrado mais (ou menos) o dobro do primeiro termo multiplicado pelo segundo termo mais o segundo termo elevado ao quadrado.

    a) (x + y)2 = x2 + 2.x.y + y2

    b) (2a + b)2 = (2a)2 + 2.2a.b + b2 = 4a2 + 4ab + b2

    c) (x – 5y)2 = x2 – 2.x.5y + (5y)2 = x2 – 10xy + 25y2

    d) (3 – a3)2 = 32 – 2.3.a3 + (a3)2 = 9 – 6a3 + a6

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  • Resposta Questão 2

    Utilizando o princípio do quadrado da soma, temos que:

    (x + y)² = x² + 2.x.y + y²

    Podemos reescrever essa igualdade da seguinte forma:

    (x + y)² = x² + y² + 2.x.y

    Sabemos que x² + y² = 20 e xy = 3, substituindo esses valores na igualdade acima, temos:

    (x + y)² = 20 + 2.3
    (x + y)² = 20 + 6
    (x + y)² = 26

    Portanto, (x + y)² = 26.

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  • Resposta Questão 3

    a) (3m + n)² + 2n²

    Desenvolvendo o produto notável, temos:

    (3m + n)² + 2n²
    (3m)² + 2.3m.n + n² + 2n²
    9m² + 6mn + n² + 2n²
    9m² + 6mn + 3n²

    Portanto, (3m + n)² + 2n² = 9m² + 6mn + 3n²

    b) (2a + 2b)² – a.(a – 2b)

    Desenvolvendo o produto notável e aplicando a propriedade distributiva, temos:

    (2a + 2b)² – a.(a – 2b)
    (2a)² + 2.2a.2b + (2b)² – a² + 2ab
    4a² + 8ab + 4b² – a² + 2ab
    3a² + 10ab + 4b²

    Portanto, (2a + 2b)² – a.(a – 2b) = 3a² + 10ab + 4b²

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  • Resposta Questão 4

    A fim de fazer aparecer , nós vamos elevar todos os membros da equação  ao quadrado:

    Aplicando a propriedade do quadrado da soma, temos:

    b² = x² + 2.x. 1 +
                        x    x²
    b² = x² + 2 + 1
                         x²
    b² – 2 = x² + 1
                       x²

    Portanto:

    x² + 1 = b² – 2
    x²     

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  • Resposta Questão 5

    Para resolver o exercício, vamos considerar x e y como reais. O quadrado da soma de x e y é representado por (x + y)2 e o quadrado da diferença é representado por (x – y)2. A diferença entre eles pode ser feita da seguinte forma:

    (x + y)2 (x – y)2

    Desenvolvendo o quadrado da soma e da diferença através das propriedades de produtos notáveis, teremos:

    x2 + 2xy + y2 – (x2 – 2xy + y2)
    x2 + 2xy + y2 – x2 + 2xy – y2
    2xy + 2xy
    4xy

    A alternativa correta é a (e), pois, desenvolvendo a diferença entre o quadrado da soma e o quadrado da diferença de dois números x e y, obtivemos 4xy, isto é, o quádruplo do produto dos números.

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  • Resposta Questão 6

    a) o produto dos dois números

    Se x e y são números positivos, a soma de seus quadrados é 4:

    x² + y² = 4

    A soma dos inversos de seus quadrados é 1:

    1 + 1 = 1
    x²   y²     

    Tirando o mínimo múltiplo comum do primeiro membro da equação, teremos:

    y² + x² = 1
    x².y²      

    Passando o x2.y2 para o segundo membro da equação, teremos:

    y² + x² = x².y²

    Que é o mesmo que escrevermos:

    (x.y)² = y² + x²

    Mas x² + y² = 4, então:

    (x.y)² = 4

    Extraindo a raiz quadrada de ambos os lados da equação, teremos:

    (x.y)² = 4
    x.y = 2

    Portanto, o produto de x e y é 2.

    b) a soma dos dois números

    Chamemos de n a soma de x e y, isto é:

    n = x + y

    Se elevarmos ao quadrado ambos os lados da equação, teremos:

    n² = (x + y)²

    Aplicando a propriedade do quadrado da soma no segundo lado da igualdade, teremos:

    n² = x² + 2xy + y²

    Podemos organizar o segundo membro da equação convenientemente da seguinte forma:

    n² = 2xy + (x² + y²)

    Não conhecemos o valor de x e de y, mas sabemos que x.y = 2 e x2 + y2 = 4, portanto:

    n² = 2.2 + (4)
    n² = 4 + 4
    n² = 8

    Extraindo a raiz quadrada de ambos os lados da equação, teremos:

    n² = √8
    n = 2√2

    A soma dos dois números é 2√2.

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