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Exercícios sobre Propriedades Operatórias dos Logaritmos

Estes exercícios sobre Propriedades Operatórias dos Logaritmos servem como base para a resolução de equações, inequações e funções logarítmicas.

  • Questão 1

    (Cesgranrio – RJ) Se log √a = 1,236, então o valor de log ³√a é:

    a) 0,236.

    b) 0,824

    c) 1,354

    d) 1,854

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  • Questão 2

    Sabendo que log 2 = x, log 3 = y e log 5 = z, calcule os seguintes logaritmos em função de x, y e z:

    a) log 10

    b) log 27

    c) log 7,5

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  • Questão 3

    Aplicando as propriedades operatórias do logaritmo, calcule logx a, sabendo que a = n.x².m-3.
                                                                                                                                       y4.√z

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  • Questão 4

    (PUC-PR) O valor da expressão log2 0,5 + log3 √3 + log4 8 é:

    a) 1

    b) – 1

    c) 0

    d) 2

    e) 0,5

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Respostas

  • Resposta Questão 1

    Aplicando as propriedades operatórias dos logaritmos, temos que:

    log √a = log a1/2 = 1 .log a
                         2

    log √a = 1,236

    1 .log a = 1,236
    2                       

    log a = 2,472

    Se log a = 2,472, então podemos calcular log ³a:

    log 3√a = log a1/3 = 1 .log a = 2,472 = 0,824
                     3                  3

    A alternativa correta é a letra b.

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  • Resposta Questão 2

    a) Aplicando a propriedade operatória do logaritmo do produto e sabendo que 2.5 = 10, temos:

    log 10 = log (2.5) = log 2 + log 5 = x + z

    Portanto, log 10 = x + z.

    b) Para determinarmos log 27, vamos utilizar o logaritmo da potência, uma vez que 27 = 3³. Sendo assim, temos:

    log 27 = log 3³ = 3.log 3 = 3.y

    Então, log 27 = 3y.

    c) Precisamos encontrar uma forma de representar o número 7,5 em função de 2, 3 e 5. Passando para a forma fracionária 75/10, podemos simplificá-lo por 5 e teremos a fração 15/2. Sabemos ainda que 15 é o produto entre 3 e 5. Podemos fazer então:

    log 7,5 = log 15 = log 3 . log 5 = log 3 + log 5 – log 2 = y + z – x
    2          log 2                                       

    Portanto, log 7,5 = y + z – x.

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  • Resposta Questão 3

    Aplicando todas as propriedades operatórias do logaritmo, temos:

    logx a = logx n.x².m-3.
                    y4.√z

    logx a = (logx n + logx x² + logx m-3) – (logx y4 + logx √z)

    logx a = logx n + logx x² + logx m-3 – logx y4 – logx z1/2

    Aplicando agora a propriedade do logaritmo da potência aos logaritmos destacados, temos:

    logx a = logx n + 2.logx x – 3.logx m – 4.logx y – 1 .logx z
                                                                    2

    Sabemos que logx x = 1, logo:

    logx a = logx n + 2.1 – 3.logx m – 4.logx y – 1 .logx z
                                                             2

    logx a = 2 + logx n – 3.logx m – 4.logx y – 1 .logx z
                                                          2 

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  • Resposta Questão 4

    Vamos calcular individualmente cada um dos logaritmos:

    1º) log2 0,5 = x
    2x = 0,5
    x = – 1

    2º) log3 √3 = y
    3y = √3
    y = ½

    3°) log4 8 = z
    4z = 8
    (2)²z = 2³
    2z = 3
    z = 3/2

    Somando todos os valores encontrados, temos:

    log2 0,5 + log3 √3 + log4 8
    1 + 1/2 + 3/2
    2 + 1 + 3
    2
    2
    2
    1

    Portanto, a alternativa correta é a letra a.

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