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Exercícios sobre Progressões

Para resolver exercícios sobre progressões, devemos aplicar as fórmulas do termo geral e da soma dos termos de uma PA e de uma PG.

  • Questão 1

    Encontre o termo geral da progressão aritmética (PA) abaixo:

    A = (3, 7, ...)

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  • Questão 2

    A soma dos 20 termos de uma PA é 500. Se o primeiro termo dessa PA é 5, qual é a razão r dessa PA?

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  • Questão 3

    (UF – CE) A soma dos 15 primeiros termos de uma progressão aritmética é 150. O 8° termo dessa PA é:

    a) 10

    b) 15

    c) 20

    d) 25

    e) 30

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  • Questão 4

    (Osec – SP) Um jardim tem uma torneira e dez roseiras dispostas em linha reta. A torneira dista 50 m da primeira roseira e cada roseira dista 2 m da seguinte. Um jardineiro, para regar as roseiras, enche um balde na torneira e despeja seu conteúdo na primeira. Volta à torneira e repete a operação para cada roseira seguinte. Após regar a última roseira e voltar à torneira para deixar o balde, ele terá andado:

    a) 1200 m.

    b) 1180 m.

    c) 1130 m.

    d) 1110 m.

    e) 1000 m.

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  • Questão 5

    (Vunesp) Várias tábuas iguais estão em uma madeireira. A espessura de cada tábua é 0,5 cm. Forma-se uma pilha de tábuas colocando-se uma tábua na primeira vez e, em cada uma das vezes seguintes, tantas quantas já estejam na pilha.

    Determine, ao final de nove dessas operações:

    a) quantas tábuas terá a pilha;

    b) a altura, em metros, da pilha.

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  • Questão 6

    Determine a soma dos 10 primeiros termos da PG (1, 3, 9, 27).

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Respostas

  • Resposta Questão 1

    Apesar de a sequência apresentar apenas dois elementos, já podemos destacar dois termos importantes. Temos o primeiro elemento (a1 = 3) e ainda a razão, que é dada pela diferença de um termo pelo termo imediatamente anterior. Portanto, a razão r é dada por r = 7 – 3 = 4. Dessa forma, é possível determinar a fórmula de seu termo geral:

    an = a1 + (n – 1).r
    an = 3 + (n – 1).4
    an = 3 + 4n – 4
    an = 4n – 1

    Então, o termo geral da PA (3, 7, …) é an = 4n – 1

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  • Resposta Questão 2

    As informações das quais dispomos são que n = 20, Sn = 500 e a1 = 5. Vamos utilizar a fórmula da soma dos termos de uma progressão aritmética para encontrar o último termo dessa sequência:

    Sn = (a1 + an).n
           
    2
    500 = (5 + a20).20
             2
    500.2= (5 + a20).20

    1000 = 100 + 20.a20

    1000 – 100 = 20.a20

    900 = 20.a20

    a20 = 900
             
    20

    a20 = 45

    Vamos agora utilizar a fórmula do termo geral para encontrar o valor da razão r:

    an = a1 + (n – 1).r
    45 = 5 + (20 – 1).r
    45 – 5 = 19.r
    r = 40 ≈ 2
    19

    Portanto, a razão dessa PA é de aproximadamente 2 cm.

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  • Resposta Questão 3

    Se a soma dos 15 primeiros termos é 150, na fórmula da soma de uma PA, teremos que Sn = 150 e n = 15. Logo:

    Sn = (a1 + an).n
                  
    2
    150 = (a1 + a15).15
                    
    2
    300 = (a1 + a15).15
    300 = a1 + a15
    15                
    a1 + a15 = 20

    Nesse exercício, não temos determinada a razão da progressão aritmética. Portanto, utilizaremos uma ideia que pode facilmente ser demonstrada em uma progressão aritmética qualquer. Um elemento da sequência é igual à média aritmética do elemento que o antecede e do elemento que o sucede. Por exemplo, dada a progressão aritmética An = (a1, a2, …, an-1, an, an+1), temos que:

    An = an-1 + an-2
                
    2

    Sendo assim, podemos dizer que:

    A8 = a7 + a9
             2

    Além disso, em uma progressão aritmética, a soma dos termos equidistantes é igual. Para esse exercício, temos a sequência:

    An = (a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9, a10, a11, a12, a13, a14, a15)

    a1 + a15 = a2 + a14 = a3 + a13 = … = a7 + a9

    Retornando às equações anteriores, podemos então reescrever o termo A8, substituindo a soma “a7 + a9” por “a1 + a15”, que é equivalente, portanto:

    A8 = a1 + a15
            2
    A8 = 20
            2
    A8 = 10

    A alternativa correta é a letra a.

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  • Resposta Questão 4

    Para regar a primeira roseira, o jardineiro está próximo à torneira e precisa andar 50 m para chegar à roseira e outros 50 m para retornar à torneira, andando nesse primeiro momento 100 metros.

    Novamente, o jardineiro sairá de próximo da torneira e andará 50 m até a primeira roseira e mais dois metros até a segunda roseira para então retornar, andando assim outros 52 metros de volta, o que totaliza 104 metros de caminhada.

    Para regar a terceira roseira, o jardineiro fará o mesmo percurso que acabara de fazer com o acréscimo de dois metros na ida e dois metros na volta, em decorrência da distância entre a segunda e a terceira roseira, totalizando 108 metros de percurso.

    O trajeto percorrido pelo jardineiro pode ser considerado uma progressão aritmética de razão 4, observe:

    A10 = (100, 104, 108, …, a10)

    Vamos identificar o último termo dessa sequência, que corresponde ao trajeto do jardineiro ao regar a décima roseira. Utilizaremos a fórmula do termo geral para encontrar o a10.

    an = a1 + (n – 1).r
    a10 = a1 + (10 – 1).r
    a10 = 100 + 9.r
    a10 = 100 + 9.4
    a10 = 100 + 36
    a10 = 136

    Se queremos saber o percurso total percorrido pelo jardineiro, podemos calcular a soma dos termos dessa progressão aritmética:

    S10 = (a1 + a10).10
           
    2
    S10 = (100 + 136).10
             
    2
    S10 = 236.5
    S10 = 1.180

    Portanto, a alternativa que corresponde ao percurso total feito pelo jardineiro é a letra b.

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  • Resposta Questão 5

    a) Se nós organizarmos a quantidade de madeiras em cada pilha, teremos formada uma progressão geométrica (1, 2, 4,...). Vamos identificar a razão dessa PG:

    q = a2
           a1
    q = 2/1
    q = 2

    Agora que já identificamos que a razão da PG é 2, podemos utilizar a fórmula do termo geral para saber quantas tábuas haverá na nona pilha:

    an = a1.qn – 1
    a9 = a1.q8
    a9 = 1 . 28
    a9 = 256

    A nona pilha será composta por 256 tábuas.

    b) Se cada tábua possui 0,5 cm de espessura, basta multiplicar esse valor pela quantidade de tábuas da nona pilha. Portanto, 0,5 . 256 = 128 cm ou 1,28 m.

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  • Resposta Questão 6

    Vamos identificar a razão q dessa PG:

    q = a2
         a1
    q = 3
         1
    q = 3

    Identificada a razão q = 3, vamos utilizar a fórmula da soma dos n primeiros termos:

    Sn = a1(qn – 1)
             q – 1
    S10 = 1(310 – 1)
             3 – 1
    Sn = 59049 – 1
            3 – 1
    Sn = 59048
           2
    Sn = 29524

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