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Exercícios sobre Progressão Geométrica

O objetivo destes exercícios sobre progressão geométrica é estimular a aplicação da fórmula do termo geral da PG em diferentes situações.

  • Questão 1

    Em uma PG crescente, temos a2 – a1 = 60, e o primeiro termo a1 é equivalente ao triplo da razão q. Determine os valores de a1 e de q.

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  • Questão 2

    Em uma PG decrescente, são conhecidos dois termos: a5 = 135 e a8 = 5. Determine qual é o primeiro termo dessa PG.

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  • Questão 3

    (UFMG) Uma criação de coelhos foi iniciada há exatamente um ano e, durante esse período, o número de coelhos duplicou a cada quatro meses. Hoje, parte dessa criação deverá ser vendida para se ficar com a quantidade inicial de coelhos. Para que isso ocorra, a porcentagem da população atual dessa criação de coelhos a ser vendida é

    a) 75%

    b) 80%

    c) 83,33%

    d) 87,5%

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  • Questão 4

    (UFPE) Suponha que o preço de um automóvel se desvaloriza 10% ao ano nos seus 5 primeiros anos de uso. Se este automóvel novo custou R$ 10.000,00, qual será o seu valor em reais após os 5 anos de uso?

    a) 5.550,00

    b) 5.804,00

    c) 6.204,30

    d) 5.904,90

    e) 5.745,20

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Respostas

  • Resposta Questão 1

    Como se trata de uma PG, podemos afirmar que a2 = a1 · q. Vamos substituir a2 em a2 – a1 = 60:

    a2 – a1 = 60
    a1 · q – a1 = 60
    a1 · (q – 1) = 60

    Se o primeiro termo a1 é equivalente ao triplo da razão q, podemos afirmar que a1 = 3q. Agora substituiremos esse valor de a1 na equação anterior:

    3q · (q – 1) = 60
    3q² – 3q – 60 = 0

    Podemos dividir toda a equação por três, o que resulta em:

    q² – q – 20 = 0

    Pela fórmula de Bhaskara, temos que:

    Δ = b² – 4.a.c
    Δ = 1² – 4.1.(– 20)
    Δ = 1 + 80
    Δ = 81

    q = – b ± √Δ
          2.a

    q = – (– 1) ± √81
          2.1

    q = 1 ± 9
         2

    q1 = 1 + 9 = 10 = 5
        2        2

    q2 = 1 – 9 = – 8 = – 4
    2        2

    Como se trata de uma PG crescente, q2 = – 4 não convém, portanto q = 5. Sabendo que a1 = 3q, vamos determinar o valor de a1:

    a1 = 3q
    a1 = 3 · 5
    a1 = 15

    Dessa forma, a1 = 15 e q = 5.

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  • Resposta Questão 2

    Vamos considerar que essa progressão geométrica está iniciando pelo termo a5. Apenas por um momento, vamos ignorar os quatro primeiros termos da PG, lembrando que a razão q permanece a mesma. Utilizando a fórmula do termo geral da PG, temos:

    an = a1 · qn – 1
    a8 = a5 · q 8 – 5
    5 = 135 · q 3
    q3 =     5   
           135
    q3 =     1   
            27
    q = 3√ 1
             3√27
    q = 1
          3

    Agora que já encontramos a razão, podemos determinar o 1° termo a1 da PG através do termo geral:

    an = a1 · qn – 1
    a5 = a1 · q 5 – 1
    135 = a1 · (1/3)4
    a1 = 135
             1/81
    a1 = 135 · 81
            1     1
    a1 = 10.935

    Portanto, o primeiro termo dessa progressão é a1 = 10.935.

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  • Resposta Questão 3

    Como nós não temos conhecimento da quantidade inicial de coelhos, podemos afirmar que esse valor é x. Sendo assim, passados quatro meses, a população de coelhos tornou-se 2x; passados oito meses, já havia 4x; após 12 meses, a polução de coelhos era de 8x. Isso pode ser representado como uma PG (x, 2x, 4x, 8x) de razão 2.

    Conforme o enunciado, atualmente o criador de coelhos possui 8x animais. Se ele deseja voltar a ter apenas a quantidade inicial (x), ele deverá vender 7x. Podemos calcular a porcentagem da criação que ele venderá através do quociente entre 7x e 8x:

    7x = 7 = 0,875 = 87,5%
    8x    8                         

    Portanto, a alternativa correta é a letra d.

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  • Resposta Questão 4

    Se o automóvel desvaloriza-se 10% ao ano, podemos afirmar que a cada ano seu valor passa a ser apenas 90% do que era anteriormente. Para determinar esse valor a cada ano, basta multiplicar o valor anterior por 0,9 (que equivale a 90%). Dessa forma, há uma progressão geométrica com razão 0,9, por isso utilizaremos a fórmula do termo geral da PG para resolver a questão.

    Para tanto, consideremos a1 = 10.000, q = 0,9 e n = 6 (observe que utilizamos 6 porque, no primeiro ano, não houve desvalorização e só após 5 anos o carro será vendido).

    an = a1 · qn – 1
    a6 = a1 · q 5
    a6 = 10.000 · (0,9) 5
    a6 = 10.000 · 0,59049
    a6 = 5904,9

    Portanto, a alternativa correta é a letra d.

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