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Exercícios sobre Potências de i

Para resolver estes exercícios sobre potências de i, é necessário dividir o expoente para reduzi-lo a 0, 1, 2 ou 3, que são potências que possuem cálculo mais fácil.

  • Questão 1

    Calcule o valor da expressão i125 – i126 + i127 – i128 , sabendo que a unidade imaginária i vale √-1.

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  • Questão 2

    Determine o valor dos números complexos a seguir:

    a) z = (1 + i)20

    b) z = (1 – 2i)8

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  • Questão 3

    (FURRN) O valor da soma: S = 1 + i + 2 + i2 + 3 + i3 + 4 + i4 + … + 99 + i99, onde i = √-1 é:

    a) 4950 – i

    b) 4951

    c) 5151

    d) 4950 + i

    e) 4949

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  • Questão 4

    (Unitau) A expressão i13 + i15 é igual a:

    a) 0

    b) i

    c) – i

    d) – 2i

    e) 3i

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Respostas

  • Resposta Questão 1

    Antes de calcular o valor da expressão, vamos resolver cada potência de i, dividindo seus expoentes por 4 para reduzi-los a potências que possuem cálculo mais fácil.

    i125 = i1 = i

    i126 = i2 = – 1

    i127 = i3 = – i

    i128 = i0 = 1

    Resolvendo a expressão, temos:

    i125 – i126 + i127 – i128

    i – (– 1) + (– i) – 1

    i + 1 – i – 1

    0

    Portanto, i125 – i126 + i127 – i128 = 0.

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  • Resposta Questão 2

    a) z = (1 + i)20

    Podemos reescrever z substituindo o expoente 20 pelo produto 2 . 10:

    z = (1 + i)20
    z = [(1 + i)2]10
    z = (12 + 2i + i2)10
    z = (1 + 2i – 1)10
    z = (2i)10
    z = 210 . i10

    É fácil ver que 210 = 1024. Vejamos agora quanto vale i10:

    i10 = (i5)2
    i10 = (i2 . i2 . i)2
    i10 = [(– 1) . (– 1) . i]2
    i10 = (1 . i)2
    i10 = i2
    i10 = – 1

    Então:

    z = 210 . i10
    z = 1024 . (– 1)
    z = – 1024

    Portanto, z = (1 + i)20 = – 1024.

    b) z = (1 – 2i)8

    Reescrevendo z como potência de potência, temos:

    z = (1 – 2i)8
    z = [(1 – 2i)2]4
    z = (12 – 2.2i + 4i2)4
    z = (1 – 4i – 4)4
    z = (– 3 – 4i)4

    Novamente, considerando z como potência de potência:

    z = (– 3 – 4i)4
    z = [(– 3 – 4i)2]2
    z = (9 + 2.(– 3).(–4i) + 16i2)2
    z = (9 + 24i – 16)2
    z = (– 7 + 24i)2

    Aplicando o produto notável do quadrado da soma:

    z = (– 7 + 24i)2
    z = 49 + 2.(– 7).(24i) + (24i)2
    z = 49 – 336i + 576i2
    z = 49 – 336i – 576
    z = – 527 – 336i

    Logo, z = (1 – 2i)8 = – 527 – 336i.

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  • Resposta Questão 3

    Para somar os números naturais de 1 a 99, podemos considerar que essa é uma progressão aritmética de razão 1. Assim sendo, podemos utilizar a fórmula da soma de termos de uma PA:

    Sn = (a1 + an) ? n
         2

    S99 = (1 + 99) ? 99
           2

    S99 = 100 ? 99
            2

    S99 = 9900
             
    2

    S99 = 4950

    Vamos agora somar todas as potências de i. Para isso, analisaremos individualmente algumas dessas potências:

    i1 = i
    i2 = – 1
    i3 = – i
    i4 = 1
    i5 = i
    i6 = –1
    i7 = – i
    i8 = 1

    Observe que i1 + i3 = i – i = 0, assim como i2 + i4 = – 1 + 1 = 0. Podemos então afirmar que a soma de quatro potências de i consecutivas resulta em zero. Vemos isso em i + i2 + i3 + i4 = 0 e também em i5 + i6 + i7 + i8 = 0. Vejamos quais são os últimos termos nessas somas (i4 e i8) que possuem expoentes múltiplos de 4. A partir disso, vamos ver qual é a última potência a ser cancelada, dividindo o valor do último expoente por 4:

    Como a divisão não foi exata, obtivemos resto 3, podemos afirmar que as três últimas potências de i não serão anuladas pelo processo que vimos anteriormente. Vamos então analisá-las dividindo seus expoentes por 4:

    i97 = i1 = i

    i98 = i2 = – 1

    i99 = i3 = – i

    Portanto, a soma S ficará:

    S = 1 + 2 + ... + 98 + 99 + i + i2 + i3 + … + i99
    S = 4950 + i97 + i98 + i99
    S = 4950 + i + (– 1) + (– i)
    S = 4950 – 1
    S = 4949

    Sendo assim, a alternativa correta é a letra e.

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  • Resposta Questão 4

    Para analisar o valor dessas potências de i, vamos dividir os expoentes por 4:

    i13 = i1 = i

    i15 = i3 = – i

    Portanto, a soma i13 + i15 corresponde a:

    i13 + i15 = i – i = 0

    Logo, a alternativa que apresenta a resposta correta é a letra a.

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