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Exercícios sobre Notação Especial da Progressão Aritmética

Ao resolvermos exercícios sobre notação especial da progressão aritmética, devemos atentar para o fato de os termos da PA serem desconhecidos.

  • Questão 1

    (UERN) A sequência de números positivos (x, x + 10, x², …) é uma PA, cujo 10° termo é:

    a) 94

    b) 95

    c) 101

    d) 104

    e) 105

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  • Questão 2

    (UDESC) O perímetro de um terreno triangular cujas medidas dos lados representam a progressão aritmética de termos x + 1, 2x e x2 – 5, nessa ordem, é:

    a) 26

    b) 25

    c) 24

    d) 28

    e) 20

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  • Questão 3

    Em uma PA de três elementos, a soma de todos os termos resulta em 54, enquanto o produto do primeiro pelo segundo termo é 180. Determine os três termos que compõem essa PA.

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  • Questão 4

    Em uma PA de cinco termos, a soma dos dois primeiros termos é sete e a soma dos dois últimos é 25. Determine o primeiro e o último termo da PA.

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Respostas

  • Resposta Questão 1

    Primeiramente, se estamos lidando com uma progressão aritmética, sabemos que a diferença de um termo com o elemento imediatamente anterior resulta na razão dessa progressão. Logo:

    r = a2 – a1
    r = (x + 10) – x
    r = 10

    Do mesmo modo, a subtração a3 – a2 deve ser igual à razão 10:

    a3 – a2 = r
    x2 – (x + 10) = 10
    x2 – x – 20 = 0

    Utilizaremos a Fórmula de Bhaskara para identificarmos os possíveis valores de x:

    Δ = b2 – 4.a.c
    Δ= (– 1)2 – 4.1.(– 20)
    Δ= 1 + 80
    Δ= 81

    x = – b ± √Δ
           2.a
    x = – (– 1) ± √81
             2.1
    x = 1 ± 9
          2

    x1 = 1 + 9                       x2 = 1 – 9
            2                                    2
      x1 = 5                             x2 = – 4   


    O valor de x2 = – 4 não é interessante nesse problema, pois os elementos dessa sequência são positivos. Portanto, utilizaremos apenas x1 = 5. Sendo assim, podemos reescrever os elementos da sequência da seguinte forma:

    a1 = x → a1 = 5
    a2 = x + 10 = 5 + 10 → a2 = 15
    a3 = x2 = 52 → a3 = 25

    Queremos identificar o 10° termo da sequência, por isso utilizaremos a fórmula do termo geral, considerando n = 10:

    an = a1 + (n – 1) . r
    a10 = 5 + (10 – 1) . 10
    a10 = 5 + 9 . 10
    a10 = 95

    O 10° termo dessa sequência é o número 95 e a alternativa correta é a letra b

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  • Resposta Questão 2

    Se os termos estão na ordem, podemos dizer que nessa PA:

    a1 = x + 1
    a2 = 2x
    a3 = x2 – 5

    Mas como é uma progressão aritmética, a subtração entre quaisquer dois termos subsequentes sempre resultará em um mesmo valor, a razão. Sendo assim, podemos afirmar que essas subtrações são iguais:

    a3 – a2 = a2 – a1
    x2 – 5 – (2x) = 2x – (x + 1)
    x2 – 2x – 5 = x – 1
    x2 – 3x – 4 = 0

    Utilizaremos a Fórmula de Bhaskara para resolver essa equação do 2° grau:

    Δ = b2 – 4.a.c
    Δ = (– 3)2 – 4.1.(– 4)
    Δ = 9 + 16
    Δ = 25
    x = – b ± √Δ
            2.a
    x = – (– 3) ± √25
          2.1
    x = 3 ± 5
         2

    x1 = 3 + 5                           x2 = 3 – 5
           2                                         2
    x1 = 4                                x2 = – 1

    O valor de x2 = – 1 não obedece às condições iniciais do exercício, pois, aplicando-o, teríamos lados negativos e nulos no terreno em questão. Portanto, utilizaremos x1 = 4. Vamos substituir esse valor na PA para encontrarmos o perímetro do terreno.

    a1 = x + 1 = 4 + 1 → a1 = 5
    a2 = 2x = 2 . 4 → a2 = 8
    a3 = x2 – 5 = 42 – 5 → a3 = 11

    Para encontrar o perímetro, devemos somar os três valores, 5 + 8 + 11 = 24. Portanto, a alternativa correta é a letra c.

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  • Resposta Questão 3

    Como nós não conhecemos os termos, podemos escrevê-los de acordo com a notação especial da progressão aritmética, isto é, se considerarmos que algum dos termos desconhecidos é x, podemos dizer que o termo anterior é a sua diferença com a razão, ou seja, x – r, assim como o termo posterior a x é o resultado da soma de x com a razão, x + r. Portanto, a PA pode ser escrita como (x – r, x, x + r).

    De acordo com o enunciado do problema, podemos afirmar que a soma dos três termos dessa PA é 54:

    (x – r) + x + (x + r) = 54
    3x = 54
    x = 54
         3
    x = 18

    Já identificamos o segundo termo da PA, precisamos agora descobrir a razão dessa progressão. Para isso utilizaremos a segunda ideia do enunciado que nos diz que o produto do primeiro pelo segundo termo é 180, portanto:

    (x – r) . x = 180
    (18 – r) . 18 = 180
    324 – 18r = 180
    18r = 180 – 324
    (– 1). – 18r = – 144 .(– 1)
    r = 144
         18
    r = 8

    Se a razão é oito, podemos concluir que os termos dessa progressão aritmética são 10, 18 e 26.

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  • Resposta Questão 4

    Nós não conhecemos os termos dessa PA, então podemos escrevê-la segundo a notação especial da progressão aritmética da seguinte forma: (x – 2r, x – r, x, x + r, x + 2r). Se a soma dos dois primeiros termos é sete, temos então:

    (x – 2r) + (x – r) = 7
    2x – 3r = 7

    Se a soma dos dois últimos termos é 25, temos:

    (x + 2r) + (x + r) = 25
    2x + 3r = 25

    Podemos montar um sistema utilizando as duas equações. Para resolvê-lo, utilizaremos o método da adição, isto é, somaremos os elementos que estão do lado direito de ambas as equações e somaremos também os elementos que estão do lado esquerdo, montando assim uma única equação com apenas uma incógnita:

    2x – 3r = 7
    2x + 3r = 25
    2x + 2x – 3r + 3r = 7 + 25
    4x = 32
    x = 32
         4
    x = 8

    Vamos substituir o valor encontrado na segunda equação:

    2x + 3r = 25
    2.8 + 3r = 25
    3r = 25 – 16
    r = 9
         3
    r = 3

    Se o primeiro termo da sequência foi dado pela expressão x – 2r, substituindo os valores de x e de r, teremos:

    a1 = x – 2r
    a1 = 8 – 2.3
    a1 = 8 – 6
    a1 = 2

    Analogamente, podemos identificar o último termo da PA:

    a5 = x + 2r
    a5 = 8 + 2.3
    a5 = 8 + 6
    a5 = 14

    Portanto, o primeiro termo da progressão aritmética é o 2 e o último termo é o 14.

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