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Exercícios sobre múltiplos e divisores

Estes exercícios sobre múltiplos e divisores podem ser uma ferramente útil para você fixar seus conhecimentos sobre o assunto!

  • Questão 1

    (Enem) Durante a Segunda Guerra Mundial, para decifrarem as mensagens secretas, foi utilizada a técnica de decomposição em fatores primos. Um número N é dado pela expressão 2x. 5y.7z, na qual x, y e z são números inteiros não negativos. Sabe-se que N é múltiplo de 10 e não é múltiplo de 7. O número de divisores de N, diferentes de N, é:

    a) x.y.z

    b) (x+1).(y+1)

    c) x.y.z -1

    d) (x+1).(y+1).z

    e) (x+1).(y+1).(z+1) -1

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  • Questão 2

    Encontre os divisores positivos dos números abaixo:

    a) 8

    b) 32

    c) 100

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  • Questão 3

    Encontre os cinco primeiros múltiplos não negativos dos números abaixo:

    a) 15

    b) 30

    c) 6

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  • Questão 4

    (EsPCex) Se escolhermos, ao acaso, um elemento do conjunto dos divisores inteiros positivos do número 360, a probabilidade de esse elemento ser um número múltiplo de 12 é:

    a) 1
        2

    b) 3
        5

    c) 1
        3

    d) 2
        3

    e) 3
        8

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Respostas

  • Resposta Questão 1

    Dados da questão

    • N = 2x . 5y . 7z

    • N não é múltiplo de 7.

    • N é múltiplo de 10.

    • Precisamos descobrir a expressão referente ao número de divisores de N diferentes de N.

    Solução

    O número total de divisores positivos de N é dado pela fórmula: N = (x + 1) . (y + 1) . ( z + 1)
    Acrescentamos +1 em cada incógnita para obtermos o sucessor, ou seja, o próximo termo da sequência.

    O número total de divisores positivos de N diferentes de N é dado por: N = (x + 1) . (y + 1) . (z + 1) – 1.
    Subtraímos um no final da expressão para que o número obtido como solução sempre seja diferente de N.

    A alternativa correta para essa questão é a letra e.

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  • Resposta Questão 2

    a) 8 = { 1, 2, 4, 8}

    Isso porque:

    8 : 1 = 8
    8 : 2 = 4
    8 : 4 = 2
    8 : 8 = 1

    b) 32 = { 1, 2, 4, 8, 32}

    Isso porque:

    32 : 1 = 32
    32 : 2 = 16
    32 : 4 = 8
    32 : 8 = 4
    32 : 16 = 2
    32 : 32 = 1

    c) 100 = {1, 2, 4 , 5, 10, 20, 25, 50, 100}

    Isso porque:

    100 : 1 = 100
    100 : 2 = 50
    100 : 4 = 25
    100 : 5 = 20
    100 : 20 = 5
    100 : 25 = 4
    100 : 50 = 2
    100 : 100 = 1

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  • Resposta Questão 3

    a) 15 = {15, 30, 45, 60, 75}

    Isso porque:

    15 x 1 = 15
    15 x 2 = 30
    15 x 3 = 45
    15 x 4 = 60
    15 x 5 = 75

    b) 30 = {30, 60, 90, 120, 150}

    Isso porque:

    30 x 1 = 30
    30 X 2 = 60
    30 X 3 = 90
    30 X 4 = 120
    30 X 5 = 125

    c) 6 = {6, 12, 18, 24, 30}

    Isso porque:

    6 x 1 = 6
    6 x 2 = 12
    6 x 3 = 18
    6 x 4 = 24
    6 x 5 = 30

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  • Resposta Questão 4

    Para solucionar essa questão, devemos decompor o número 360 em fatores primos.

    360| 2
    180| 2
      90| 2
      45| 3
      15| 3
        5| 5
        1|

    360 = 23 . 32 . 51

    Para saber o número total de divisores de 360, devemos aplicar a fórmula:

    D = (a +1). (b + 1) . ( c + 1) …..
    D = Número total de divisores de um número
    a, b, c = Expoentes da fatoração

    Utilizando a fórmula descrita, temos:

    D = (3 + 1) . (2 + 1) . (1 + 1)
    D = 4 . 3 . 2
    D = 24

    Para calcularmos a probabilidade de o elemento do conjunto de divisores ser um múltiplo de 12, devemos fatorar o 12.

    12| 2
      6| 2
      3| 3
      1|

    12 = 22 . 3

    Devemos agora escrever 360 a partir da fatoração de 12.
    360 = (2². 3) · (21 . 31 . 51)

    Agora devemos calcular a quantidade de múltiplos de 12 que são divisores de 360. Para isso, faça:

    M = (1 + 1) . (1 + 1) . (1 + 1)
    M = 2 . 2 . 2
    M = 8

    Temos, então, a seguinte probabilidade:

    P = quantidade total de múltiplos de 12 que são divisores de 360
    Número total de divisores de 360

    P = 8:8
         248

    P = 1
          3

    A alternativa correta dessa questão é a letra c.

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