Exercícios sobre multiplicação de matrizes

Primeiramente, vamos determinar os elementos das matrizes A e B:

Agora que já conhecemos A e B, podemos realizar o produto entre essas matrizes para determinar a matriz C:

Portanto, multiplicando as matrizes A e B, obtemos a matriz .

Se queremos verificar a validade da propriedade comutativa na multiplicação das matrizes A e B, isso implica mostrar se é verdadeira a igualdade A.B = B.A. Vamos fazer primeiro o produto A.B:

Vamos agora fazer o produto B.A:

Após fazer as multiplicações das matrizes A e B, podemos constar que A.B ≠ B.A, portanto, a propriedade comutativa não se aplica à multiplicação de matrizes.

Para resolver essa questão, realizaremos primeiramente as multiplicações que caracterizam as potências de matriz, sendo , temos:

A² = A . A = 

A³ = A² . A = 

A⁴ = A³ . A = 

Vamos agora aplicar a multiplicação de matriz por um número e a soma de matrizes para solucionar a expressão A⁴ + 2A³ + 4A² + 8A:

A⁴ + 2A³ + 4A² + 8A

Observe novamente os resultados das potências da matriz A. Podemos sintetizar que:

A² = 2. A = 2¹.A
A³ = 2.2.A = 2².A = 4.A
A⁴ = 2.2.2.A = 2³.A = 8.A

Aⁿ = 2^{n – 1}.A

Mas o resultado da expressão corresponde à 32.A. Se 32 = 2⁵, podemos então afirmar que o resultado da expressão A⁴ + 2A³ + 4A² + 8A é A⁶, pois A⁶ = 2⁵.A. Logo, a alternativa correta é a letra a.

Para determinar um elemento de C, não é necessário realizar toda a multiplicação entre as matrizes A e B. O elemento C₂₂, por exemplo, é formado pela soma dos produtos dos elementos da 2ª linha da matriz A com os elementos da 2ª coluna da matriz B, isto é:

C₂₂ = A₂₁ . B₁₂ + A₂₂ . B₂₂ + A₂₃ . B₃₂ + A₂₄ . B₄₂
C₂₂ = 5 . 1 + 6 . 1 + 7 . 0 + 8 . 0
C₂₂ = 5 + 6
C₂₂ = 11

Portanto, a alternativa correta é a letra d.