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Exercícios sobre mudança de base de logaritmos

A resolução de exercícios sobre mudança de base de logaritmos exige a aplicação de todo o conhecimento sobre suas propriedades operatórias.

  • Questão 1

    Determine o valor de log50 100, sabendo que log10 5 = a.

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  • Questão 2

    Calcule log27 z, sabendo que log3 z = w.

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  • Questão 3

    (Vunesp) Se log3 a = x, então log9 é igual a:

    a) 2x²

    b) x²

    c) x + 2

    d) 2x

    e) x

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  • Questão 4

    (Fuvest) Se x = log4 7 e y = log16 49, então x – y é igual a:

    a) log4 7

    b) log 7

    c) 1

    d) 2

    e) 0

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Respostas

  • Resposta Questão 1

    Através da fórmula da mudança de base do logaritmo, temos:

    Como o exercício sugeriu que log10 5 = a, precisamos que apareça o log10 5 em nossos cálculos. Para isso, faremos c = 10 e teremos:

    Sabendo que log10 100 = 2, continuaremos a resolução substituindo ainda log10 50 por log10 (5.10), que equivale a log10 5 + log10 10:

    Mas sabemos que log10 5 = a e log10 10 = 1, temos então:

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  • Resposta Questão 2

    Pela fórmula da mudança de base do logaritmo, temos:

    Se log3 z = w, precisamos que apareça o log3 z no desenvolvimento do cálculo. Para isso, podemos fazer c = 3. Logo, teremos a seguinte equação:

    Sabendo que log3 27 = 3 e, segundo o enunciado, log3 z = w, temos então:

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  • Resposta Questão 3

    Resolvendo o logaritmo log9, podemos extrair o expoente do logaritmando como produto do logaritmo, isto é:

    Através da fórmula da mudança de base, temos que:

    Façamos c = 3, logo:

    Mas log3 a = x e log3 9 = 2, temos então:

    Portanto, a alternativa correta é a letra e.

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  • Resposta Questão 4

    A fim de possibilitar o cálculo de x – y, reescreveremos y na mesma base de x. Para isso, utilizaremos a fórmula da mudança de base:

    Como queremos igualar as bases, faremos c = 4. Logo:

    Facilmente vemos que log4 16 = 2. Podemos ainda escrever 49 na forma de potência, isto é, . Sendo assim:

    Mas log4pode ser expresso como o produto 2. log4 7, assim, teremos:

    Mas se y = log16 49 = log4 7, então y = x. Sendo assim, x – y = 0. Portanto, a alternativa correta é a letra e.

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