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Exercícios sobre função modular

Para resolver estes exercícios sobre função modular, é necessário conhecer os conceitos de função, de propriedades do módulo e de equações e inequações modulares.

  • Questão 1

    Dada a função modular f(x) = |2 – x| – 2, escreva a função sem utilizar módulo nas sentenças.

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  • Questão 2

    Esboce o gráfico da função modular definida por f(x) = |4x² + 8x – 5|:

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  • Questão 3

    (Fuvest) Seja f(x) = |2x² – 1|, x  . Determine os valores de x para os quais f(x) < 1.

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  • Questão 4

    (Puc – MG) O gráfico da função f(x) = |x| + 2 é constituído por:

    a) duas semirretas de mesma origem

    b) duas retas concorrentes

    c) duas retas paralelas

    d) uma única reta que passa pelo ponto (0,2)

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Respostas

  • Resposta Questão 1

    Pela definição de função modular, temos que f(x) = |x| equivale a . A função dada no enunciado apresenta o módulo |2 – x|, com o qual faremos:

    2 – x = 0
    x = – 2
    x = 2

    Agora vamos analisar a função:

    x ≥ 2
    2 – x ≥ 0

    f(x) = |2 – x| – 2
    f(x) = 2 – x – 2
    f(x) = – x

     

    x < 2

    2 – x < 0

    f(x) = |2 – x| – 2
    f(x) = – (2 – x) – 2
    f(x) = – 2 + x – 2
    f(x) = x – 4

    Podemos representar essa função sem o utilizar o módulo da seguinte forma:

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  • Resposta Questão 2

    Vamos determinar alguns pontos principais do gráfico da função f(x) = |4x² + 8x – 5| e verificar quais são os valores de x para os quais temos f(x) = 0. Nesse momento, podemos desconsiderar o módulo para resolver a equação 4x² + 8x – 5 = 0. Através da fórmula de Bhaskara, temos:

    Δ = b² – 4.a.c
    Δ = 8² – 4.4.(– 5)
    Δ = 64 + 80
    Δ = 144

    x = – b ± √Δ
           2.a

    x = – 8 ± √144
          2.4

    x = – 8 ± 12
          8

    x1 = – 8 + 12
            8

    x1 = 4
           8

    x1 = 1
            2

    x2 = – 8 – 12
          8

    x2 = – 20
            8

    x2 = – 5
            2

    Temos então que a função toca o eixo x nos pontos (1/2, 0) e (– 5/2, 0). Podemos determinar o vértice da parábola através do cálculo de máximo e mínimo:

    Xv = – b
            2a

    Xv = – 8
            2.4

    Xv = – 1

    Yv = Δ
            4a

    Yv = – 144
             4.4

    Yv = – 9

    O vértice da parábola da função f(x) = 4x² + 8x – 5 é nos pontos (– 1, – 9). Mas como essa função é modular, ela não pode ter pontos com valores de y negativos. Dessa forma, essa parte da função será “refletida” de modo que o vértice da parábola da função f(x) = |4x² + 8x – 5| seja no ponto (– 1, 9). Observe na figura a seguir o gráfico da função modular f(x) = |4x² + 8x – 5| em vermelho. A parte do gráfico compreendida entre – 5/2 < x < 1/2 foi refletida para cima do eixo x. Se a função não fosse modular, utilizaríamos a curva da cor cinza.

    Gráfico da função modular f(x) = |4x² + 8x – 5|
    Gráfico da função modular f(x) = |4x² + 8x – 5|

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  • Resposta Questão 3

    Para determinar os valores de x para os quais temos f(x) < 1, resolveremos a seguinte inequação modular:

    |2x² – 1| < 1
    1 < 2x² – 1 < 1
    1 + 1 < 2x² < 1 + 1

    0 < x² < 2
    2           2

    0 < x < √1
    0 < x < ±1

    Portanto, temos dois intervalos possíveis que correspondem aos valores de x tais que f(x) < 1, são eles – 1 < x < 0 e 0 < x < 1. Outra forma de mostrar essa solução é através da reta numérica:

    Representação dos valores de x para os quais temos f(x) < 1
    Representação dos valores de x para os quais temos f(x) < 1

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  • Resposta Questão 4

    Para responder à questão, vamos verificar como é o gráfico da função modular f(x) = |x| + 2:

    Gráfico da função modular f(x) = |x| + 2
    Gráfico da função modular f(x) = |x| + 2

    Na figura acima, podemos observar duas funções. Na cor cinza, temos o gráfico da função modular f(x) = |x|, mas como estamos trabalhando com a função f(x) = |x| + 2, basta “elevá-la” duas unidades para conseguir o gráfico procurado, que está na cor vermelha. Observe que esse gráfico é constituído por duas semirretas com origem no ponto (0,2). Portanto, a alternativa correta é a letra a.

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