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Exercícios sobre função composta

Estes exercícios sobre função composta envolvem todos os tipos de funções e, além do conhecimento sobre funções, requerem domínio em resolução de equações.

  • Questão 1

    Seja f(x) = x² + 2x + 1 e g(x) = – 2x – 1, determine a lei que define f[g(x)] e g[f(x)].

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  • Questão 2

    Sejam f e g funções reais tais que f[g(x)] = – 10x – 13 e g(x) = 2x + 3. Determine qual é a lei que define f(x).

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  • Questão 3

    (Cefet – PR) Se f(x) = x5 e g(x) = x – 1, a função composta f[g(x)] será igual a:

    a) x5 + x – 1

    b) x6 – x5

    c) x6 – 5x5 + 10x4 – 10x3 + 5x2 – 5x + 1

    d) x5 – 5x4 + 10x3 – 10x2 + 5x – 1

    e) x5 – 5x4 – 10x3 – 10x2 – 5x – 1

     

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  • Questão 4

    (Acafe – SC) Dadas as funções reais f(x) = 2x – 6 e g(x) = ax + b, se f[g(x)] = 12x + 8, o valor de a + b é:

    a) 10

    b) 13

    c) 12

    d) 20

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Respostas

  • Resposta Questão 1

    Primeiramente vamos realizar a composição de funções f[g(x)], isto é, na função f(x), substituiremos x pela função g(x):

    f(x) = x² + 2x + 1
    f[g(x)] = [g(x)]² + 2.[g(x)] + 1
    f[g(x)] = [– 2x – 1]² + 2.[– 2x – 1] + 1
    f[g(x)] = 4x² + 4x + 1 – 4x – 2 + 1
    f[g(x)] = 4x²

    Vamos agora realizar o processo contrário. Como agora queremos determinar g[f(x)], onde houver x na função g(x), substituiremos por f(x):

    g(x) = – 2x – 1
    g[f(x)] = – 2.[f(x)] – 1
    g[f(x)] = – 2.[x² + 2x + 1] – 1
    g[f(x)] = – 2x² – 4x – 2 – 1
    g[f(x)] = – 2x² – 4x – 3

    Realizando a composição de funções, encontramos que f[g(x)] = 4x² e g[f(x)] = – 2x² – 4x – 3.

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  • Resposta Questão 2

    Como f[g(x)] = – 10x – 13 e g(x) = 2x + 3, então f[2x + 3] = – 10x – 13. Fazendo 2x + 3 de y, temos:

    2x + 3 = y
    2x = y – 3
    x = y – 3
          2

    Então podemos escrever:

    f(y) = – 10.(y – 3) – 13
             
    2
    f(y) = – 5.(y – 3) – 13

    f(y) = – 5y + 15 – 13
    f(y) = – 5y + 2

    Portanto, a função procurada é f(x) = – 5x + 2.

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  • Resposta Questão 3

    Sendo f(x) = x5 e g(x) = x – 1, vamos realizar a composição de funções f[g(x)], isto é, onde houver x na função f(x), nós substituiremos por g(x) = x – 1:

    f(x) = x5
    f(g(x)) = [g(x)]5
    f(g(x)) = [x – 1]5
    f(g(x)) = (x – 1)².(x – 1)².(x – 1)

    f(g(x)) = (x² – 2x + 1) . (x² – 2x + 1) . (x – 1)
    f(g(x)) = (x4 – 2x³ + x² – 2x³ + 4x² – 2x + x² – 2x + 1) . (x – 1)
    f(g(x)) = (x4 – 4x³ + 6x² – 4x + 1) . (x – 1)
    f(g(x)) = x5 – 4x4 + 6x³ – 4x² + x – x4 + 4x³ – 6x² + 4x – 1
    f(g(x)) = x5 – 5x4 + 10x³ – 10x² + 5x – 1

    Portanto, a alternativa correta é a letra d.

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  • Resposta Questão 4

    Foram dadas as funções f(x) = 2x – 6 e g(x) = ax + b, fazendo a composição de funções f[g(x)], teremos:

    f(x) = 2x – 6
    f[g(x)] = 2.[g(x)] – 6
    f[g(x)] = 2.[ax + b] – 6
    f[g(x)] = 2ax + 2b – 6

    Mas foi dado que f[g(x)] = 12x + 8, sendo assim, teremos:

    12x + 8 = 2ax + 2b – 6

    Igualando os coeficientes de x, teremos:

    12 x = 2ax
    2a = 12
    a = 12
          
    2
    a = 6

    Vamos agora igualar os termos que não estão acompanhados de x:

    8 = 2b – 6
    2b = 8 + 6
    2b = 14
    b = 14
          
    2
    b = 7

    Mas como queremos descobrir o valor de a + b, faremos 6 + 7 = 13. Portanto, a alternativa correta é a letra b

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