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Exercícios sobre fatorações simultâneas

Estes exercícios sobre fatorações simultâneas exigem conhecimentos acerca das formas de fatoração.

  • Questão 1

    Resolva a expressão (x + y)² – (x – y)² de duas formas distintas.

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  • Questão 2

    Simplifique ao máximo a expressão a seguir utilizando os casos de fatoração:

          a² – b²      . a ³ – b³
    a² – 2ab + b²     a³ + b³

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  • Questão 3

    (U.E. FEIRA DE SANTANA) Simplificando a expressão abaixo obtém-se:

    x² + xy .         x² – y²      
    xy – y²     x² + y² + 2xy  

    a)       1       
          x² + y²

    b)           1         
         x² + y² + 3xy

    c)         2x² + x      
           x² + y² + xy

    d)
      
    2y

    e) x
       
    y

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  • Questão 4

    (UFMG) Considere o conjunto de todos os valores de x e y para os quais a expressão a seguir está definida.

    Assim, a expressão equivalente a M é:

    a) (x – y)(x + y)

    b) (x – y)(x² + y²)

    c) x – y
       
    x² + y²

    d) x – y
        x + y

    e) (x – y)·(x² + y²)
              x + y

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Respostas

  • Resposta Questão 1

    Resolveremos a expressão utilizando o caso de fatoração “trinômio quadrado perfeito”:

    (x + y)² – (x – y)²
    (x² + 2xy + y²) – (x² – 2xy + y²)
    + 2xy + – x² + 2xy – y²
    4xy

    Agora, através da “diferença de dois quadrados”, resolveremos a expressão de outra forma:

    (x + y)²(x – y)²
    [(x + y) + (x – y)]·[(x + y)(x – y)]
    (x + y + x – y) · (x + y – x + y)
    (2x) · (2y)
    4xy

    Provamos por duas formas distintas que (x + y)² – (x – y)² = 4xy.

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  • Resposta Questão 2

    Podemos reescrever o numerador da primeira fração utilizando a “diferença de dois quadrados” e o seu denominador através do “trinômio quadrado perfeito”:

    (a + b) · (a – b) . a³ – b³
           (a + b)²        a³ + b³

    (a + b) · (a – b) . a³ – b³
    (a – b) · (a – b)   a³ + b³

    Simplificando o termo (a – b) no numerador e no denominador da primeira fração:

    (a + b) . a³ – b³
    (a – b)   a³ + b³

    Na segunda fração, desenvolveremos o numerador pela fatoração da “diferença de cubos”: a³ – b³ = (a – b)·(a² + ab + b²). Podemos ainda desenvolver o denominador pela “soma de cubos”, que afirma que a³ + b³ = (a + b)·(a² – ab + b²).

    (a + b) . (a – b)·(a² + ab + b²)
    (a – b)   (a + b)·(a² – ab + b²)

    Ao simplificar no denominador e no numerador os termos (a + b) e (a – b) que se repetem, chegamos à seguinte expressão:

    a² + ab + b²
    a² – ab + b²

    Essa é a forma mais simples da expressão dada.

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  • Resposta Questão 3

    Na primeira fração utilizaremos a técnica de fatoração do fator comum, colocando em evidência o x no numerador e o y no denominador da fração:

    x·(x + y) .       x² – y²     
    y·(x – y)     x² + y² + 2xy

    Na segunda fração, podemos aplicar dois casos de fatoração diferentes. No numerador, utilizaremos a diferença de dois quadrados; já no denominador, o trinômio quadrado perfeito:

    x·(x + y) . (x + y)·(x – y)
    y·(x – y)        (x + y)²    

    x·(x + y)·(x + y)·(x – y)
    y·(x – y)·(x + y)²

    Como temos apenas multiplicações de termos tanto no numerador quanto no denominador da fração, podemos simplificar os termos que se repetem em ambos. Observe o destaque em cores dos termos que aparecem no numerador e no denominador simultaneamente:

    (x + y)·(x + y)·(x – y) = x
         y·(x – y)·(x + y)²         y

    Simplificando os termos comuns, resta apenas a fração x/y. Portanto, a resposta correta é a alternativa e.

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  • Resposta Questão 4

    Para determinar o valor de M, vamos resolver a expressão em duas partes. Calculando apenas o numerador de M, temos:

    = x4 – y4
    y²    x²      x²y²   

    Observe que podemos aplicar o caso de fatoração “diferença de dois quadrados” no numerador x4 – y4, escrevendo-o como (x² – y²)·(x² + y²). Mas nesse primeiro parêntese, podemos utilizar novamente a “diferença de dois quadrados”. Portanto, o numerador de M pode ser expresso como:

    (x – y)·(x + y)·(x² + y²)
    x²y²

    Vamos agora resolver o denominador de M:

    1 + 2 + 1 = y² + 2xy + x² = (x + y)²
    x²   xy   y²          x²y²            x²y²    

    Unindo o numerador e o denominador de M que calculamos, teremos a seguinte expressão:

    Podemos cancelar os dois denominadores x²y², restando apenas:

    M = (x – y)·(x + y)·(x² + y²)
         (x + y)²

    Se reescrevermos o denominador sem utilizar a potência, podemos observar os termos que se repetem:

    M = (x – y(x + y)·(x² + y²)
           (x + y)·(x + y)

    Simplificando os termos (x + y) no numerador e no denominador:

    M = (x – y)·(x² + y²)
           x + y

    Portanto, a resposta correta está na alternativa e.

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