Questão 2
Simplifique ao máximo a expressão a seguir utilizando os casos de fatoração:
a² – b² . a ³ – b³
a² – 2ab + b² a³ + b³
Questão 3
(U.E. FEIRA DE SANTANA) Simplificando a expressão abaixo obtém-se:
x² + xy . x² – y²
xy – y² x² + y² + 2xy
a) 1
x² + y²
b) 1
x² + y² + 3xy
c) 2x² + x
x² + y² + xy
d) x²
2y
e) x
y
Questão 4
(UFMG) Considere o conjunto de todos os valores de x e y para os quais a expressão a seguir está definida.
Assim, a expressão equivalente a M é:
a) (x – y)(x + y)
b) (x – y)(x² + y²)
c) x – y
x² + y²
d) x – y
x + y
e) (x – y)·(x² + y²)
x + y
Resposta Questão 1
Resolveremos a expressão utilizando o caso de fatoração “trinômio quadrado perfeito”:
(x + y)² – (x – y)²
(x² + 2xy + y²) – (x² – 2xy + y²)
x² + 2xy + y² – x² + 2xy – y²
4xy
Agora, através da “diferença de dois quadrados”, resolveremos a expressão de outra forma:
(x + y)² – (x – y)²
[(x + y) + (x – y)]·[(x + y) – (x – y)]
(x + y + x – y) · (x + y – x + y)
(2x) · (2y)
4xy
Provamos por duas formas distintas que (x + y)² – (x – y)² = 4xy.
Resposta Questão 2
Podemos reescrever o numerador da primeira fração utilizando a “diferença de dois quadrados” e o seu denominador através do “trinômio quadrado perfeito”:
(a + b) · (a – b) . a³ – b³
(a + b)² a³ + b³
(a + b) · (a – b) . a³ – b³
(a – b) · (a – b) a³ + b³
Simplificando o termo (a – b) no numerador e no denominador da primeira fração:
(a + b) . a³ – b³
(a – b) a³ + b³
Na segunda fração, desenvolveremos o numerador pela fatoração da “diferença de cubos”: a³ – b³ = (a – b)·(a² + ab + b²). Podemos ainda desenvolver o denominador pela “soma de cubos”, que afirma que a³ + b³ = (a + b)·(a² – ab + b²).
(a + b) . (a – b)·(a² + ab + b²)
(a – b) (a + b)·(a² – ab + b²)
Ao simplificar no denominador e no numerador os termos (a + b) e (a – b) que se repetem, chegamos à seguinte expressão:
a² + ab + b²
a² – ab + b²
Essa é a forma mais simples da expressão dada.
Resposta Questão 3
Na primeira fração utilizaremos a técnica de fatoração do fator comum, colocando em evidência o x no numerador e o y no denominador da fração:
x·(x + y) . x² – y²
y·(x – y) x² + y² + 2xy
Na segunda fração, podemos aplicar dois casos de fatoração diferentes. No numerador, utilizaremos a diferença de dois quadrados; já no denominador, o trinômio quadrado perfeito:
x·(x + y) . (x + y)·(x – y)
y·(x – y) (x + y)²
x·(x + y)·(x + y)·(x – y)
y·(x – y)·(x + y)²
Como temos apenas multiplicações de termos tanto no numerador quanto no denominador da fração, podemos simplificar os termos que se repetem em ambos. Observe o destaque em cores dos termos que aparecem no numerador e no denominador simultaneamente:
x·(x + y)·(x + y)·(x – y) = x
y·(x – y)·(x + y)² y
Simplificando os termos comuns, resta apenas a fração x/y. Portanto, a resposta correta é a alternativa e.
Resposta Questão 4
Para determinar o valor de M, vamos resolver a expressão em duas partes. Calculando apenas o numerador de M, temos:
x² – y² = x4 – y4
y² x² x²y²
Observe que podemos aplicar o caso de fatoração “diferença de dois quadrados” no numerador x4 – y4, escrevendo-o como (x² – y²)·(x² + y²). Mas nesse primeiro parêntese, podemos utilizar novamente a “diferença de dois quadrados”. Portanto, o numerador de M pode ser expresso como:
(x – y)·(x + y)·(x² + y²)
x²y²
Vamos agora resolver o denominador de M:
1 + 2 + 1 = y² + 2xy + x² = (x + y)²
x² xy y² x²y² x²y²
Unindo o numerador e o denominador de M que calculamos, teremos a seguinte expressão:
Podemos cancelar os dois denominadores x²y², restando apenas:
M = (x – y)·(x + y)·(x² + y²)
(x + y)²
Se reescrevermos o denominador sem utilizar a potência, podemos observar os termos que se repetem:
M = (x – y)·(x + y)·(x² + y²)
(x + y)·(x + y)
Simplificando os termos (x + y) no numerador e no denominador:
M = (x – y)·(x² + y²)
x + y
Portanto, a resposta correta está na alternativa e.