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Exercícios sobre equação modular

Na resolução destes exercícios sobre equação modular, é necessário verificar a condição inicial de existência do módulo, bem como as possíveis formas de solução.

  • Questão 1

    Resolva a equação modular |3x – 1| = |2x + 6|.

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  • Questão 2

    Determine quais números compõem o conjunto solução da equação modular a seguir:

    |4x + 3| = – 3x + 7

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  • Questão 3

    Encontre o conjunto solução da equação modular |x + 1| + |2x – 1| = 3.

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  • Questão 4

    (PUC – SP) O conjunto solução S da equação |2x – 1| = x – 1 é:

    a) S = {0, 2/3}

    b) S = {0, 1/3}

    c) S = Ø

    d) S = {0, – 1}

    e) S = {0, 4/3}

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  • Questão 5

    (UEPA) O conjunto solução da equação |x|² – 2|x| – 3 = 0 é igual a:

    a) S = {– 1, 3}

    b) S = {– 3, 3}

    c) S = {– 1, 1}

    d) S = {– 3, 1}

    e) S = {1, 3}

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  • Questão 6

    (Mackenzie – SP) A soma dos valores de x que satisfazem a igualdade |x² – x – 2| = 2x + 2 é:

    a) 1

    b) 3

    c) – 2

    d) 2

    e) – 3

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Respostas

  • Resposta Questão 1

    Para resolver a equação modular proposta, precisamos nos lembrar da seguinte propriedade:

    De acordo com essa propriedade, podemos montar as duas seguintes equações:

    3x – 1 = 2x + 6
    3x – 2x = 6 + 1
    x = 7
    3x – 1 = – (2x + 6)
    3x – 1 = – 2x – 6
    3x + 2x = – 6 + 1
    5x = – 5
    x = – 1

    Temos então o seguinte conjunto solução: S = {– 1, 7}.

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  • Resposta Questão 2

    A propriedade básica de módulo afirma que . Sendo assim, temos duas resoluções possíveis para essa equação modular:

    4x + 3 = – 3x + 7
    4x + 3x = 7 – 3
    7x = 4
    x = 4
          7
    4x + 3 = – (– 3x + 7)
    4x + 3 = 3x – 7
    4x – 3x = – 7 – 3
    x = – 10

    Portanto, o conjunto solução da equação é dado por S = {– 10, 4/7}.

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  • Resposta Questão 3

    Para resolver essa equação modular, dividiremos a análise dos módulos em etapas:

    I) |x + 1|

    |x + 1| = x + 1, se x + 1 ≥ 0
    x + 1 ≥ 0
    x ≥ – 1

    |x + 1| = x + 1, se x ≥ – 1

    |x + 1| = – (x + 1), se x + 1 < 0
    x + 1 < 0
    x < – 1

    |x + 1| = – x – 1, se x < – 1

    II) |2x – 1|

    |2x – 1| = 2x – 1, se 2x – 1 ≥ 0
    2x – 1 ≥ 0
    x ≥ ½

    |2x – 1| = 2x – 1, se x ≥ ½

    |2x – 1| = – (2x – 1), se 2x – 1 < 0
    2x – 1 < 0
    x < ½

    |2x – 1| = – 2x + 1, se x < ½

    Observe no quadro a seguir como se comportam as soluções:

    Faremos agora o estudo de cada caso:

    – 3x = 3
    x = 3
       – 3
    x' = – 1
    – x + 2 = 3
    – x = 3 – 2
    x'' = – 1
    3x = 3
    x = 3
          3
    x'' = 1

    Vamos substituir os valores encontrados (x' = – 1 e x'' = 1) na equação:

    |x + 1| + |2x – 1| = 3
    |– 1 + 1| + |2.(– 1) – 1| = 3
    0 + |– 2 – 1| = 3
    |– 3| = 3
    3 = 3
    A igualdade é verdadeira!
    |x + 1| + |2x – 1| = 3
    |1 + 1| + |2.1 – 1| = 3
    |2| + |2 – 1| = 3
    |2| + |1| = 3
    2 + 1 = 3
    3 = 3
    A igualdade é verdadeira!

    Portanto, o conjunto solução dessa equação é S = {– 1, 1}.

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  • Resposta Questão 4

    Como o módulo |2x – 1| não pode ser negativo, precisamos que x – 1 seja maior ou igual a zero.

    x – 1 ≥ 0
    x ≥ 1

    Resolvendo a equação modular |2x – 1| = x – 1, podemos estabelecer outras duas igualdades:

    2x – 1 = x – 1
    2x – x = – 1 + 1
    x = 0
    2x – 1 = – (x – 1)
    2x – 1 = – x + 1
    2x + x = 1 + 1
    3x = 2
    x = 2/3

    Portanto, o conjunto solução seria S = {0, 2/3}, mas pela condição inicial, vimos que x ≥ 1 e os dois valores da solução são menores do que 1. Portanto, a solução correta é S = Ø, e a alternativa que indica a resposta adequada é a letra c.

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  • Resposta Questão 5

    Para resolver equações modulares quadradas, o ideal é substituir o módulo da variável por uma incógnita qualquer. Sendo assim, faremos |x| = y, com y 0, pois o módulo não pode ser negativo. Chegaremos à seguinte equação do 2° grau:

    y² – 2y – 3 = 0

    Para resolver essa equação, utilizaremos a fórmula de Bhaskara:


    Δ = (– 2) – 4.1.(– 3)
    Δ = 4 + 12
    Δ = 16

    y = –(– 2) ± √16
           2.1

    y = 2 ± 4
         2

    y' = 2 + 4 = 6 = 3
       2       2

    y'' = 2 – 4 = – 2 = – 1
     2        2

    Encontramos dois valores para y: y' = 3 e y'' = – 1. Mas como y 0, a solução adequada é apenas y' = 3. Voltemos agora à equação modular |x| = y. Se , então |x| = 3 ↔ x' = 3 e x'' = – 3.

    O conjunto solução correto é o indicado na alternativa b.

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  • Resposta Questão 6

    Sabendo que o módulo |x² – x – 2| não pode ser negativo, temos a condição inicial de que 2x + 2 deve ser maior ou igual a zero. Logo:

    2x + 2 ≥ 0
    2x ≥ – 2
    x ≥ – 2
          2
    x ≥ – 1

    Resolvendo a equação modular |x² – x – 2| = 2x + 2, podemos criar duas equações do 2° grau, que resolveremos através da fórmula de Bhaskara:

    x² – x – 2 = 2x + 2
    x² – x – 2x – 2 – 2 = 0
    x² – 3x – 4 = 0


    Δ = (– 3)² – 4.1.(– 4)
    Δ = 9 + 16
    Δ = 25

    x = – (– 3) ± √25
        2.1

    x = 3 ± 5
         2

    x' = 3 + 5 = 4
        2       2

    x'' = 3 – 5 – 2 = – 1
     2        2

    x² – x – 2 = – (2x + 2)
    x² – x – 2 = – 2x – 2
    x² – x + 2x – 2 + 2 = 0
    x² + x = 0


    Δ = 1² – 4.1.0
    Δ = 1

    x = – 1 ± √1
          2.1

    x = – 1 ± 1
          2

    x' = – 1 + 1 = 0
          2       2

    x'' = – 1 – 1 – 2 = – 1
     
    2         2

    Portanto, o conjunto solução é S = {– 1, 0, 4}. Todos os valores encontrados pertencem à solução, pois a condição inicial estabelece que x ≥ – 1. No entanto, o enunciado pede o valor da soma dos valores de x, logo, – 1 + 0 + 4 = 3. Sendo assim, a alternativa correta é a letra b.

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