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Exercícios sobre equação logarítmica

Na resolução de exercícios sobre equação logarítmica, aplicamos princípios da resolução de equações, bem como as propriedades operatórias dos logaritmos.

  • Questão 1

    Descubra o valor de x para que a igualdade abaixo seja válida.

    log2 (3x + 10) – log2 x = log2 5

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  • Questão 2

    Resolva a equação logarítmica logx + 3 (5x – 1) = 1.

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  • Questão 3

    (Fuvest) O número real x que satisfaz a equação log2 (12 - 2x) = 2x é:

    a) log2 5

    b) log2 √3

    c) 2

    d) log2 √5

    e) log2 3

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  • Questão 4

    (UEL) A solução real da equação  é:

    a) 1/9

    b) – 1/5

    c) – 1

    d) – 5

    e) – 9

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Respostas

  • Resposta Questão 1

    Vamos verificar as condições de existência dos logaritmos:

    3x + 10 > 0
    3x > – 10
    x > – 10
    3
            x > 0

    Sabendo que a subtração de logaritmos de mesma base pode ser expressa como um quociente, reescreveremos a equação da seguinte forma:

    log2 (3x + 10) – log2 x = log2 5

    Podemos desconsiderar os logaritmos e igualar os logaritmandos:

    3x + 10 = 5
    x      
    5x = 3x + 10
    5x – 3x = 10
    2x = 10
    x = 10
         2
    x = 5

    Portanto, o único valor de x para que a igualdade log2 (3x + 10) – log2 x = log2 5 seja válida é 5.

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  • Resposta Questão 2

    Vamos verificar as condições de existência do logaritmo:

    x + 3 > 0
    x > – 3
    5x – 1 > 0
    5x > 1
    x > 1/5

    Resolveremos a equação logarítmica pela propriedade básica do logaritmo:

    logx + 3 (5x – 1) = 1
    (5x – 1)1 = x + 3
    5x – 1 = x + 3
    5x – x = 3 + 1
    4x = 4
    x = 4
          4
    x = 1

    A única solução possível para logx + 3 (5x – 1) = 1 é x = 1.

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  • Resposta Questão 3

    Podemos aplicar a propriedade básica dos logaritmos:

    log2 (12 – 2x) = 2x
    22x = 12 – 2x
    (2x)2 = 12 – 2x

    Com 2x = y, teremos a seguinte equação:

    y² = 12 – y
    y² + y – 12 = 0

    Chegamos a uma equação do 2° grau. Para resolvê-la, utilizaremos a fórmula de Bhaskara:


    Δ = b² – 4.a.c
    Δ = 1² – 4.1.(– 12)
    Δ = 1 + 48
    Δ = 49

    y = – b ± √Δ
         2.a

    y = – 1 ± √49
          2.1

    y = – 1 ± 7
          2

    y1 = – 1 + 7 = 6 = 3
           2       2

    y2 = – 1 – 7 = – 8 = – 4
      2         2

    Vamos agora resolver a equação 2x = y:

    2x = y1
    2x = 3
    log2 3 = x
    2x = y2
    2x = – 4
    log2 (– 4) = x

    Note que a solução log2 (– 4) = x não é válida porque o logaritmando não pode ser menor do que zero. Portanto, a única solução possível é log2 3 = x. Sendo assim, a alternativa correta é a letra e.

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  • Resposta Questão 4

    Verificando as condições de existência do logaritmo, temos:

    2x > 0
    x > 0
    x + 1 > 0
    x > – 1

    Podemos reescrever o logaritmo como um quociente de logaritmos:


    O logaritmo negativo de um número, por sua vez, pode ser expresso como o logaritmo positivo do inverso desse número:

    Podemos agora descartar os logaritmos e manter a igualdade entre os logaritmandos:

    1 = 2x
       5   x + 1
    10x = x + 1
    10x – x = 1
    9x = 1
    x = 1
          9

    Portanto, a alternativa correta é a letra a.

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