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Exercícios sobre equação exponencial

Para resolver exercícios sobre equação exponencial, o ideal é encontrar uma igualdade entre potências de mesma base para que se igualem também os expoentes.

  • Questão 1

    Se x é um número real, resolva a equação exponencial 32x + 3x + 1 = 18:

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  • Questão 2

    Resolva a equação exponencial:

    5x – 1 – 5x + 5x + 2 = 119

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  • Questão 3

    (UFJF) Dada a equação 23x – 2 · 8x + 1 = 4x – 1, podemos afirmar que sua solução é um número:

    a) natural.

    b) maior do que 1.

    c) de módulo maior do que 1.

    d) par.

    e) de módulo menor do que 1.

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  • Questão 4

    (Mackenzie – SP) A soma das raízes da equação 22x + 1 – 2x + 4 = 2x + 2 – 32 é:

    a) 2

    b) 3

    c) 4

    d) 6

    e) 7

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Respostas

  • Resposta Questão 1

    Para resolver a equação exponencial 32x + 3x + 1 = 18, reescreveremos como produto de potências aquelas potências cujo expoente possui somas.

    32x + 3x + 1 = 18
    (3x)2 + 3x · 31= 18

    Tome y = 3x. Temos a seguinte equação em função de y:

    y2 + y · 31= 18
    y2 + 3y – 18 = 0

    Vamos então resolver essa equação do 2° grau pela fórmula de Bhaskara:


    Δ = b² – 4.a.c
    Δ = 3² – 4.1.(– 18)
    Δ = 9 + 72
    Δ = 81

    y = – b ± √Δ
         2.a

    y = – 3 ± √81
          2.1

    y = – 3 ± 9
          2

    y1 = – 3 + 9
            2

    y1 = 6
            2

    y1 = 3

    y2 = – 3 – 9
           2

    y2 = – 12
            2

    y2 = – 6

    Voltando à equação y = 3x, temos:

    Para y1 = 3

    3x = y
    3x = 3
    x1 = 1

    Para y2 = – 6

    3x = y
    3x = – 6
    x2 = Ø

    Há, portanto, um único valor real para x. A solução da equação é x = 1.

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  • Resposta Questão 2

    Como temos na equação a adição e a subtração de potências, não podemos escrever o primeiro membro como uma só potência, mas podemos desmembrar as potências na maior quantidade possível. Isso corresponde a escrever a equação da seguinte forma:

    5x – 1 – 5x + 5x + 2 =
    5x · 5– 1 – 5x + 5x · 52 =

    Colocando o termo 5x em evidência, temos:

    5x · (– 5– 1 – 1 + 52) =
    5x · (– 1/5 – 1 + 25) =


    5x = 5
    x = 1

    Portanto, a solução da equação exponencial – 5x – 1 – 5x + 5x + 2 = 119 é x = 1.

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  • Resposta Questão 3

    A fim de facilitar a resolução da equação exponencial 23x – 2 · 8x + 1 = 4x – 1, vamos reescrever todas as potências na base 2. A saber, temos: 4 = 22 e 8 = 23. Substituindo na equação:

    23x – 2 · 8x + 1 = 4x – 1
    23x – 2 · (23)x + 1 = (22)x – 1
    23x – 2 · 23(x + 1) = 22(x – 1)
    23x – 2 · 23x + 3 = 22x – 2
    2(3x – 2 ) + (3x + 3) = 22x – 2

    Como temos uma equação exponencial que apresenta potências de mesma base nos dois lados da equação, podemos igualar os expoentes:

    (3x – 2) + (3x + 3) = 2x – 2
    6x + 1 = 2x – 2
    6x – 2x = – 2 – 1
    4x = – 3
    x = – 3
          4
    |x| = ¾

    Portanto, a alternativa que classifica corretamente o resultado da equação é a letra e, que afirma que x é um número de módulo menor do que 1.

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  • Resposta Questão 4

    Para resolver a equação exponencial 22x + 1 – 2x + 4 = 2x + 2 – 32, começaremos separando as potências que apresentam somas no expoente, escrevendo-as como produto de potências.

    22x + 1 2x + 4 = 2x + 2 32
    2x · 2x · 21 2x · 24 = 2x · 22 32

    Façamos 2x = y:

    y · y · 21 y · 24 = y · 22 32
    y2 · 21 y · 16 = y · 4 32
    2y2 16y 4y + 32 = 0
    2y2 – 20y + 32 = 0

    Chegamos a uma equação do 2° grau, que pode ser resolvida fórmula de Bhaskara. A fim de trabalhar com números menores, podemos dividir toda a equação por 2, sem prejuízo no resultado final.

    y2 – 10y + 16 = 0

    Δ = b² – 4.a.c
    Δ = (– 10)² – 4.1.16
    Δ = 100 – 64
    Δ = 36

    y = – b ± √Δ
    2.a

    y = – (– 10) ± √36
    2.1

    y = 10 ± 6
    2

    y1 = 10 + 6
    2

    y1 = 16
    2

    y1 = 8

    y2 = 10 – 6
    2

    y2 = 4
    2

    y2 = 2

    Agora que encontramos os possíveis valores de y, podemos resolver a equação exponencial que criamos no início do exercício:

    Para y1 = 8

    2x = y
    2x = 8
    2x = 23
    x1 = 3

    Para y2 = 2

    2x = y
    2x = 2
    2x = 21
    x2 = 1

    O enunciado pediu a soma das raízes da equação exponencial. Como as raízes são x1 = 3 e x2 = 1, então a soma é x1 + x2 = 3 + 1 = 4. Portanto, a alternativa correta é a letra c

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